Dadas \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -2 & -1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right] Verifique se \mathrm{AB}=\mathrm{BA}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2:
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é verificar se \mathrm{AB}=\mathrm{BA}, ou seja, se o produto matricial de \mathrm{A} por \mathrm{B} é igual ao produto de \mathrm{B} por \mathrm{A}.]

Passo 2

Relembrando a definição (passo didático): para duas matrizes 2\times2,
X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11} & y_{12}\\[4pt] y_{21} & y_{22}\end{pmatrix},
o produto XY é a matriz 2\times2 cujos elementos são obtidos por produto escalar de linha de X com coluna de Y. Explicitamente:
(XY)_{11}=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}, \quad (XY)_{12}=x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22},
(XY)_{21}=x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21}, \quad (XY)_{22}=x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}.
Vou aplicar essa regra para calcular \mathrm{AB} e \mathrm{BA} passo a passo.]

Passo 3

Calculando \mathrm{AB} usando a regra acima. Escrevo novamente as matrizes para visualizar os elementos:
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada elemento de \mathrm{AB}:
(\mathrm{AB})_{11}=1\cdot(-1)+1\cdot 2 = -1+2 = 1,
(\mathrm{AB})_{12}=1\cdot(-1)+1\cdot 1 = -1+1 = 0,
(\mathrm{AB})_{21}=(-2)\cdot(-1)+(-1)\cdot 2 = 2-2 = 0,
(\mathrm{AB})_{22}=(-2)\cdot(-1)+(-1)\cdot 1 = 2-1 = 1.
Portanto
\mathrm{AB}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathrm{I},
onde \mathrm{I} é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 4

Agora calculo \mathrm{BA}. Repetindo a mesma regra com as matrizes na ordem trocada:
(\mathrm{BA})_{11}=(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-2) = -1+2 = 1,
(\mathrm{BA})_{12}=(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) = -1+1 = 0,
(\mathrm{BA})_{21}=2\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 2-2 = 0,
(\mathrm{BA})_{22}=2\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 2-1 = 1.
Assim
\mathrm{BA}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathrm{I}.]

Passo 5

Comparando os resultados, obtivemos \mathrm{AB}=\mathrm{I} e \mathrm{BA}=\mathrm{I}. Logo \mathrm{AB}=\mathrm{BA} — ambos os produtos coincidem e valem a matriz identidade.
Observação rápida e útil para a prova (didática): aqui \mathrm{B}=-\mathrm{A}, então \mathrm{AB}=\mathrm{A}(-\mathrm{A})=-(\mathrm{A}^2) e \mathrm{BA}=(-\mathrm{A})\mathrm{A}=-(\mathrm{A}^2); como \mathrm{A}^2=-\mathrm{I} (pode-se verificar multiplicando \mathrm{A} por \mathrm{A}), segue que \mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}. Isso ilustra que, embora em geral matrizes não comutem, em casos especiais (como quando uma é múltiplo da outra) podem comutar.

Resposta

\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}

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