\quad Se \left(\begin{array}{ll}x+y & a+b \\\ x-y & a-b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right), determine x, y, a e b.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre duas matrizes 2\times2 e pede os valores de x,\;y,\;a,\;b. As informações relevantes são as entradas correspondentes das matrizes iguais, ou seja, cada posição da primeira matriz é igual à mesma posição da segunda matriz. Escrevo a igualdade dada (peguei a igualdade diretamente do enunciado):
Essas quatro equações são a informação que vamos usar para encontrar x,y,a,b.]
Passo 3
Vou resolver primeiro o par de equações que envolve x\) e \(y\):
\[\begin{cases} x+y = 5,\\[4pt] x-y = 1. \end{cases}
Técnica: somar as duas equações para eliminar y\]. Ao somar membro a membro obtemos:
\[(x+y)+(x-y)=5+1.\]
No lado esquerdo \(y cancela: x+x=2x. No direito 5+1=6. Logo:
2x = 6.
Dividindo por 2:
x = \frac{6}{2} = 3.]
Passo 4
Com x conhecido, volto à primeira equação para achar y:
x+y=5.
Substituo x=3:
3+y=5.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
y = 5-3 = 2.
Passo 5
Agora resolvo o par de equações que envolve a\) e \(b\):
\[\begin{cases} a+b = -1,\\[4pt] a-b = 3. \end{cases}
Novamente somo as duas equações para eliminar b\]:
\[(a+b)+(a-b) = -1 + 3.\]
No lado esquerdo \(b cancela e fica 2a. No direito -1+3=2. Logo:
2a = 2.
Dividindo por 2:
a = \frac{2}{2} = 1.]
Passo 6
Com a conhecido, uso a+b=-1 para achar b:
a+b = -1.
Substituo a=1:
1+b = -1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
b = -1 - 1 = -2.
Passo 7
(Verificação rápida) Substituindo os valores que achamos na matriz inicial obtemos: