Encontrar a matriz inversa \mathrm{A}^{-1} da matriz A=\left(\begin{array}{cc}0 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}0 & 2\\\\ -1 & 4\end{pmatrix}
e pede para encontrar a matriz inversa \mathrm{A}^{-1}. Informações explícitas que temos: os elementos da matriz são \,a=0,\; b=2,\; c=-1,\; d=4\,. A pergunta é única e clara: determinar \mathrm{A}^{-1}.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para matrizes 2\times2 existe uma fórmula direta e muito prática. Se
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então, desde que o determinante não seja zero, a inversa é
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui ad-bc é o determinante. Vou usar essa fórmula porque é a forma mais simples e rápida para 2\times2, fácil de aplicar na prova sem cálculo pesado.]

Passo 3

Calcular o determinante e interpretar: o determinante de \mathrm{A} é
\det(\mathrm{A})=a d - b c.
Substituindo os valores dados ( a=0,\; b=2,\; c=-1,\; d=4) obtemos
\det(\mathrm{A})=0\cdot4 - 2\cdot(-1)=0+2=2.
Como \det(\mathrm{A})=2\neq0, a matriz é invertível e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular a matriz adjunta (aquela dentro da fórmula): usando a fórmula
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
substituímos a,b,c,d:
\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -(-1) & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicar a adjunta pelo escalar 1/\det(\mathrm{A}): temos \det(\mathrm{A})=2, portanto
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora multiplico cada entrada por 1/2:
\mathrm{A}^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{4}{2} & \frac{-2}{2}\\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{0}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt] \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação (útil para ter certeza e para a prova): vou multiplicar \mathrm{A} por \mathrm{A}^{-1} e checar se dá a identidade. A regra para multiplicar matrizes 2\times2 diz que o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos da j-ésima coluna da segunda matriz.
Calculemos \mathrm{A}\mathrm{A}^{-1}:
\begin{pmatrix}0 & 2\\\\ -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot2 + 2\cdot\frac{1}{2} & 0\cdot(-1) + 2\cdot0\\[6pt] -1\cdot2 + 4\cdot\frac{1}{2} & -1\cdot(-1) + 4\cdot0 \end{pmatrix}.
Fazendo as contas:
\begin{pmatrix} 0 + 1 & 0 + 0\\[4pt] -2 + 2 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a matriz identidade. Perfeito — nossa inversa está correta.]

Passo 7

Conclusão: a matriz inversa de \mathrm{A} é a matriz encontrada no passo 5 e verificada no passo 6.

Resposta

\mathrm{A}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt] \dfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}]

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