2- \quad \mathrm{O} vapor d’água sob a pressão de 90 bar e na temperatura de 370^{\circ} \mathrm{C}, expande-se isentropicamente até a pressão de 10 bar. Calcular o título, a energia interna, a entalpia, a entropia e a temperatura no estado final, bem como a pressão em que o vapor se torna saturado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei diretamente do enunciado):
  • Pressão inicial: \,P_1=90\\ \text{bar}.
  • Temperatura inicial: \,T_1=370^\circ\text{C}.
  • Processo: expansão isentrópica (ou seja, entropia constante).
  • Pressão final do processo: \,P_2=10\\ \text{bar}.
O enunciado pede:
  1. Determinar o título (qualidade) no estado final.
  2. Determinar a energia interna no estado final.
  3. Determinar a entalpia no estado final.
  4. Determinar a entropia no estado final.
  5. Determinar a temperatura no estado final.
  6. Determinar a pressão em que o vapor, durante a expansão isentrópica, se torna saturado (isto é, a pressão onde a isentropa intercepta a curva de vapor saturado).
Observações importantes (não resolvo nada aqui, só anoto):
  • Como o processo é isentrópico temos \,s_2=s_1.
  • Para obter propriedades de vapor saturado e de vapor superaquecido vou usar tabelas de vapor (tabelas saturadas e tabelas de vapor superaquecido / IAPWS). Nas próximas etapas eu indico quais valores peguei nas tabelas e como os usei.

Passo 2

Determinar as propriedades no estado inicial (estado 1) a partir das tabelas de vapor.
Explicando a ideia e a fonte: para vapor d’água superfaturado (quando a temperatura está acima da de saturação para a pressão dada) consultamos as tabelas de vapor superaquecido para obter entalpia h, entropia s e volume específico v no ponto (P_1,T_1). Esses valores são lidos diretamente da tabela (ou por interpolação, se necessário). Cada símbolo significa:
  • h: entalpia específica, em \mathrm{kJ/kg}.
  • s: entropia específica, em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • v: volume específico, em \mathrm{m^3/kg}.
Dos dados tabelados (valores retirados das tabelas de vapor superaquecido para \,P_1=90\\ \text{bar} e \,T_1=370^\circ\text{C}):
  • \displaystyle h_1 = 3227{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia no estado 1).
  • \displaystyle s_1 = 6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (entropia no estado 1).
  • \displaystyle v_1 = 0{,}0345\\ \mathrm{m^3/kg} (volume específico no estado 1).
Comentário didático: esses números vêm da tabela de vapor superaquecido. O importante para nosso problema é que já temos s_1; como o processo é isentrópico, s_2=s_1. Também vamos precisar de v_1 se quisermos calcular energia interna via u=h-Pv (lembre que a pressão deve ser em kPa para a unidade P v em \mathrm{kJ/kg}).
Agora calculo a energia interna no estado inicial para referência:
  • Convertendo pressão para kPa: \,P_1=90\\ \text{bar}=9000\\ \text{kPa}.
  • A relação entre h, u, P e v é \displaystyle u = h - P v (com P em kPa e v em \mathrm{m^3/kg}, então Pv tem unidade \mathrm{kJ/kg}).
    Cálculo:
\begin{aligned} P_1 v_1 &= 9000\cdot 0{,}0345 = 310{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\\[4pt] u_1 &= h_1 - P_1 v_1 = 3227{,}0 - 310{,}5 = 2916{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Portanto, valores iniciais (resumo):
  • \displaystyle h_1 = 3227{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • \displaystyle s_1 = 6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • \displaystyle u_1 = 2916{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.]

Passo 3

Determinar se no estado final ( P_2=10\\ \text{bar}) o vapor está superaquecido, saturado ou em mistura líquida-vapor, usando a condição isentrópica.
Didática rápida: para saber se o estado final é vapor seco/superaquecido ou mistura, comparamos a entropia constante s_2=s_1 com a entropia do vapor saturado à pressão P_2, chamada s_g(P_2). Se
  • s_1 > s_g(P_2) então o estado final é vapor superaquecido (entropia maior que a do vapor saturado a essa pressão).
  • s_1 = s_g(P_2) então o estado final é vapor saturado seco.
  • s_1 < s_g(P_2) então o estado final é mistura líquido-vapor (umidade x<1).
Vou pegar os valores saturados na pressão \,P_2=10\\ \text{bar} (ou seja, 1{,}0\\ \text{MPa}) nas tabelas de vapor saturado (valores tabelados para água saturada a 1{,}0\\ \text{MPa}):
  • Temperatura de saturação: \displaystyle T_{\text{sat},2} = 179{,}88^\circ\text{C}.
  • Entropia do líquido saturado: \displaystyle s_f(P_2) = 1{,}3025\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entropia do vapor saturado: \displaystyle s_g(P_2) = 6{,}5969\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entalpia do líquido saturado: \displaystyle h_f(P_2) = 762{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia do vapor saturado: \displaystyle h_g(P_2) = 2777{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Volume específico do líquido saturado: \displaystyle v_f(P_2)=0{,}001127\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Volume específico do vapor saturado: \displaystyle v_g(P_2)=0{,}19436\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comparação de entropias:
s_1 = 6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \quad\text{e}\quad s_g(P_2)=6{,}5969\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Como \,s_1 < s_g(P_2), concluímos que no ponto P_2=10\\ \text{bar} a isentropa atinge uma entropia menor que a entropia do vapor saturado: o vapor fica na região bifásica (mistura líquido–vapor) no estado final. Logo o estado final é uma mistura com título (qualidade) x_2<1, e a temperatura final será a temperatura de saturação correspondente à pressão final:
T_2 = T_{\text{sat}}(P_2) = 179{,}88^\circ\text{C}.

Passo 4

Calcular o título (qualidade) x_2 no ponto final usando a conservação da entropia.
Explicação de fórmula: para uma mistura líquido–vapor, a entropia específica é
s = s_f + x\,s_{fg},
onde s_{fg}=s_g-s_f e x é a fração mássica de vapor (título). Isentropicamente temos s_2 = s_1, então
x_2 = \frac{s_1 - s_f(P_2)}{s_g(P_2) - s_f(P_2)}.
Substituindo os valores (todos em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
\begin{aligned} s_{fg}(P_2) &= s_g(P_2)-s_f(P_2)=6{,}5969-1{,}3025=5{,}2944,\\[3pt] x_2 &= \dfrac{6{,}086 - 1{,}3025}{5{,}2944} = \dfrac{4{,}7835}{5{,}2944}=0{,}9035\\ \text{(adimensional).} \end{aligned}
Interpretação: o título x_2\approx0{,}9035 significa que no estado final cerca de 90{,}35\% da massa está no estado vapor e o restante é líquido.]

Passo 5

Calcular entalpia h_2 e energia interna u_2 no estado final (mistura) a partir do título.
Fórmulas para mistura:
\begin{aligned} h_2 &= h_f(P_2) + x_2\,h_{fg}(P_2),\\[3pt] u_2 &= u_f(P_2) + x_2\,u_{fg}(P_2), \end{aligned}
onde h_{fg}=h_g-h_f e u_{fg}=u_g-u_f. Também podemos obter u_f e u_g a partir de u = h - P v (com P em kPa).
Cálculos usando os valores tabelados para P_2=10\\ \text{bar}=1000\\ \text{kPa}:
\begin{aligned} h_{fg}(P_2) &= h_g - h_f = 2777{,}1 - 762{,}5 = 2014{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\\[4pt] h_2 &= 762{,}5 + 0{,}9035\cdot 2014{,}6 = 762{,}5 + 1819{,}8 = 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Agora u_f e u_g:
\begin{aligned} u_f &= h_f - P_2 v_f = 762{,}5 - 1000\cdot 0{,}001127 = 762{,}5 - 1{,}127 = 761{,}373\\ \mathrm{kJ/kg},\\[4pt] u_g &= h_g - P_2 v_g = 2777{,}1 - 1000\cdot 0{,}19436 = 2777{,}1 - 194{,}36 = 2582{,}74\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Então
\begin{aligned} u_{fg} &= u_g - u_f = 2582{,}74 - 761{,}373 = 1821{,}367\\ \mathrm{kJ/kg},\\[4pt] u_2 &= u_f + x_2\,u_{fg} = 761{,}373 + 0{,}9035\cdot 1821{,}367 = 761{,}373 + 1645{,}9 = 2407{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Resumo deste passo:
  • \displaystyle h_2 = 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • \displaystyle u_2 = 2407{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.]

Passo 6

Determinar a pressão em que o vapor, ao expandir isentropicamente, se torna saturado.
Explicação e estratégia: o vapor se torna saturado quando, ao diminuir a pressão ao longo da isentropa s= constante, essa entropia iguala a entropia do vapor saturado s_g(P). Ou seja, queremos a pressão P_{\text{sat}} tal que
s_g\big(P_{\text{sat}}\big) = s_1.
Para encontrar P_{\text{sat}} consultamos as tabelas de vapor saturado que listam s_g em função da pressão e interpolamos entre pontos da tabela para localizar a pressão onde s_g tem o valor \,s_1=6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Valores de referência (retirados das tabelas de saturado) em duas pressões próximas (exemplos tabelados):
  • Para P=30\\ \text{bar} ( 3{,}0\\ \text{MPa}): s_g(30\\ \text{bar})\approx 6{,}160\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Para P=40\\ \text{bar} ( 4{,}0\\ \text{MPa}): s_g(40\\ \text{bar})\approx 6{,}000\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Esses pontos indicam que s_g varia quase linearmente nesse intervalo de pressão (para o propósito de uma interpolação prática). Agora interpolamos linearmente s_g vs P para achar P tal que s_g(P)=6{,}086.
Interpolação linear:
P_{\text{sat}} \approx P_1 + (P_2-P_1)\,\frac{s_1 - s_g(P_1)}{s_g(P_2)-s_g(P_1)}.
Tomando P_1=30\\ \text{bar} (com s_g=6{,}160) e P_2=40\\ \text{bar} (com s_g=6{,}000) e s_1=6{,}086:
\begin{aligned} \Delta s &= s_g(40)-s_g(30)=6{,}000-6{,}160=-0{,}160,\\[4pt] s_1 - s_g(30) &= 6{,}086 - 6{,}160 = -0{,}074,\\[4pt] \text{fração} &= \frac{-0{,}074}{-0{,}160}=0{,}4625,\\[4pt] P_{\text{sat}} &\approx 30 + 0{,}4625\cdot(40-30)=30 + 4{,}625 = 34{,}625\\ \text{bar}. \end{aligned}çã
Interpretação: ao expandir isentropicamente a partir de P_1=90\\ \text{bar} mantendo s=6{,}086, o fluido encontra a curva de vapor saturado quando a pressão alcança aproximadamente \,34{,}6\\ \text{bar}. Para pressões maiores que esse valor a isentropa está no regime super-aquecido; para pressões menores a isentropa já passou para a região bifásica (mistura). Como a pressão final do enunciado P_2=10\\ \text{bar} é menor que 34{,}6\\ \text{bar}, o estado final é realmente mistura, conforme já calculado no Passo 4 e Passo 5.]

Passo 7

Recapitulação final dos resultados numéricos obtidos (cada valor com sua unidade e breve interpretação).
  • Título (qualidade) no estado final: \displaystyle x_2 = 0{,}9035 (ou seja, 90{,}35\% de vapor).
  • Entalpia no estado final: \displaystyle h_2 = 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Energia interna no estado final: \displaystyle u_2 = 2407{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entropia no estado final: \displaystyle s_2 = s_1 = 6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (isentropia).
  • Temperatura no estado final: \displaystyle T_2 = T_{\text{sat}}(P_2) = 179{,}88^\circ\text{C}.
  • Pressão em que o vapor se torna saturado ao seguir a isentropa: \displaystyle P_{\text{sat}}\approx 34{,}6\\ \text{bar}.
Nota pedagógica final: todos os valores numéricos principais foram obtidos lendo propriedades nas tabelas de vapor (tabelas de água saturada e de vapor superaquecido) e fazendo as contas mostradas (interpolação linear simples onde preciso). Em uma prova você deverá consultar as tabelas fornecidas e executar exatamente esses passos: (i) ler s_1 em (P_1,T_1); (ii) checar s_g em P_2 para decidir a fase final; (iii) se for mistura, calcular x por x=(s_1-s_f)/(s_g-s_f); (iv) obter h_2 e u_2 por mistura; (v) localizar P_{\text{sat}} resolvendo s_g(P)=s_1 por interpolação entre pontos da tabela.

Resposta

x_2 = 0{,}9035
u_2 = 2407{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}
h_2 = 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}
s_2 = 6{,}086\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
T_2 = 179{,}88^\circ\text{C}
P_{\text{sat}} \approx 34{,}6\\ \text{bar}

Exercícios relacionados