“Qual deve ser o tamanho mínimo (altura e comprimento) de um tanque de sedimentação para garantir a remoção eficiente de partículas sólidas de 50 \mu \mathrm{~m} de diâmetro, considerando a densidade das partículas igual a 2650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e temperatura da água a 25^{\circ} \mathrm{C} ? E como esse dimensionamento seria afetado se a temperatura da água fosse elevada para 40^{\circ} \mathrm{C}, alterando sua viscosidade?”

Passo 1

O enunciado pede o “tamanho mínimo (altura e comprimento)” de um tanque de sedimentação capaz de remover partículas sólidas de diâmetro \,50\,\mu\mathrm{m}, sabendo que \rho_p=2650\,\mathrm{kg/m^3} e que a água está a 25^\circ\mathrm{C}. Em linhas gerais, para projetar um tanque de sedimentação retangular precisamos de:
  1. Calcular a velocidade de queda (assentamento) v_s dessas partículas usando a Lei de Stokes.
  2. Relacionar esse v_s com a vazão de projeto Q para obter a área superficial mínima A.
  3. Escolher uma profundidade (altura) mínima H compatível com o tempo de trânsito hidráulico e com a sedimentação.
  4. Determinar o comprimento L do tanque a partir de A, da largura B (que também seria definida pelo projeto) e da profundidade H.
    Para seguir adiante, precisamos de um dado fundamental: a vazão de projeto Q. Sem esse valor não é possível obter números absolutos para A, H ou L.

Passo 2

Calcular a velocidade de assentamento pela Lei de Stokes:
v_s = \frac{(\rho_p - \rho_f)\,g\,d^2}{18\,\mu}
onde:
\rho_p=2650\,\mathrm{kg/m^3} é a densidade da partícula;
\rho_f\approx 997\,\mathrm{kg/m^3} é a densidade da água a 25^\circ\mathrm{C};
g=9,81\,\mathrm{m/s^2};
d=50\times10^{-6}\,\mathrm{m};
\mu\approx0,89\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s} é a viscosidade da água a 25^\circ\mathrm{C}.
Substituindo:
v_s(25^\circ\mathrm{C}) = \frac{(2650 - 997)\times9,81\times(50\times10^{-6})^2}{18\times0,89\times10^{-3}} \approx 1{,}3\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Se elevamos a temperatura para 40^\circ\mathrm{C}, a viscosidade da água cai para cerca de \mu\approx0,65\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}. Repetindo o cálculo:
v_s(40^\circ\mathrm{C}) = \frac{(2650 - 992)\times9,81\times(50\times10^{-6})^2}{18\times0,65\times10^{-3}} \approx 1{,}8\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}.
Ou seja, as partículas assentam mais rápido com água mais quente.

Passo 4

Para projetar o tanque retangular, a área superficial mínima é
A_{\min} = \frac{Q}{v_s},
e a profundidade H deve ser suficiente para que as partículas tenham tempo de cair. Em geral escolhe-se
H \gtrsim \frac{v_{\mathrm{fluxo\,horizontal}}}{v_s}\times d_{\mathrm{queda}},
mas o ponto chave é que SEM O VALOR DE Q (e também sem a largura B escolhida) NÃO HÁ COMO obter valores numéricos para A, H ou L.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a altura e o comprimento mínimos do tanque sem conhecer a vazão de projeto Q. O que se faz é:
– usar \,v_s\approx1,3\times10^{-3}\,\mathrm{m/s} a 25^\circ\mathrm{C} (e \approx1,8\times10^{-3}\,\mathrm{m/s} a 40^\circ\mathrm{C});
– então definir
A = \frac{Q}{v_s},
escolher H e L a partir dessa área e da largura B.

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