O tempo de contato t,entre duas esferas idênticas parcialmente ao se chocarem centralmente, é diretamente proporcional ao raio R das esferas, inversamente proporcional a raiz quinta da velocidade relativa V de aproximação das esferas, e ainda é função do módulo de YOUNG, \mathcal{E} ( \mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2} ), e da massa específica volumétrica p do material das esferas. Determine a equação que relaciona o tempo de contato com as demais grandezas.
t=k r \sqrt[5]{\frac{\rho^{2}}{v \varepsilon^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a equação que relaciona o tempo de contato t com as demais grandezas dadas. Informações relevantes do enunciado:
  • t é o tempo de contato (incógnita).
  • R é o raio das esferas e t é diretamente proporcional a R.
  • V é a velocidade relativa de aproximação e t é inversamente proporcional à raiz quinta de V (isto é, t\propto V^{-1/5}).
  • \mathcal{E} é o módulo de Young (com dimensões \mathrm{M L^{-1} T^{-2}}).
  • \rho é a massa específica volumétrica (densidade) do material das esferas.
  • Queremos uma fórmula do tipo potência (lei de grandezas) com uma constante adimensional k.

Passo 2

Vamos supor a forma de dependência por uma lei de potências com expoentes desconhecidos (forma usual em análise dimensional):
t = k\, R^{\alpha}\, \rho^{\beta}\, \mathcal{E}^{\gamma}\, V^{\delta},
onde k é constante adimensional e \alpha,\beta,\gamma,\delta são expoentes a determinar. Do enunciado já obtemos duas condições:
\alpha = 1 \quad\text{(diretamente proporcional a \(R\))},
\delta = -\tfrac{1}{5} \quad\text{(inversamente proporcional à raiz quinta de \(V\))}.à

Passo 3

Anotamos as dimensões (entre colchetes) de cada grandeza:
[t] = T,
[R] = L,
[\rho] = M\,L^{-3},
[\mathcal{E}] = M\,L^{-1}\,T^{-2},
[V] = L\,T^{-1}.

Passo 4

Substituímos as dimensões na equação geral para impor homogeneidade dimensional:
[T] = [R]^{\alpha}\,[\rho]^{\beta}\,[\mathcal{E}]^{\gamma}\,[V]^{\delta}.
Com \alpha=1 e \delta=-\tfrac{1}{5} temos
T = L^{1}\,(M L^{-3})^{\beta}\,(M L^{-1} T^{-2})^{\gamma}\,(L T^{-1})^{-\tfrac{1}{5}}.

Passo 5

Agora expandimos as potências para separar as potências de M, L e T.
Potência de M: \beta+\gamma.
Potência de L: 1 -3\beta -\gamma -\tfrac{1}{5}.
Potência de T: -2\gamma + \tfrac{1}{5}\cdot(-1) mas com sinal correto: do fator (L T^{-1})^{-\tfrac{1}{5}} vem T^{+\tfrac{1}{5}}? Vamos fazer com cuidado: (L T^{-1})^{\delta} = L^{\delta} T^{-\delta}. Com \delta=-\tfrac{1}{5} obtemos L^{-\tfrac{1}{5}} T^{+\tfrac{1}{5}}. Portanto os expoentes são:
  • M: \beta+\gamma.
  • L: 1 -3\beta -\gamma -\tfrac{1}{5}.
  • T: -2\gamma + \tfrac{1}{5}.
Como a dimensão do lado esquerdo é T^{1} (ou seja, M^{0} L^{0} T^{1}), igualamos expoentes:
\begin{cases} \beta+\gamma = 0,\\[4pt] 1 -3\beta -\gamma -\tfrac{1}{5} = 0,\\[4pt] -2\gamma + \tfrac{1}{5} = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolvemos o sistema. Da terceira equação:
-2\gamma + \tfrac{1}{5} = 1 \;\Longrightarrow\; -2\gamma = 1 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5},
logo
\gamma = -\tfrac{2}{5}.
Da primeira equação \beta + \gamma = 0 segue
\beta = -\gamma = \tfrac{2}{5}.
Podemos checar a segunda equação:
1 -3\beta -\gamma -\tfrac{1}{5} = 1 -3\cdot\tfrac{2}{5} -(-\tfrac{2}{5}) -\tfrac{1}{5} = 1 - \tfrac{6}{5} + \tfrac{2}{5} - \tfrac{1}{5} = 1 - \tfrac{5}{5} = 0,
ok.

Passo 7

Substituindo os expoentes na forma de potência obtemos
t = k\, R^{1}\, \rho^{\tfrac{2}{5}}\, \mathcal{E}^{-\tfrac{2}{5}}\, V^{-\tfrac{1}{5}}.
Podemos reescrever de forma mais compacta como
t = k\, R \left(\frac{\rho^{2}}{\mathcal{E}^{2} V}\right)^{\tfrac{1}{5}} = k\, R \sqrt[5]{\frac{\rho^{2}}{\mathcal{E}^{2} V}}.

Passo 8

Interpretação e checagem: k é uma constante adimensional que depende dos detalhes da geometria e da lei de contato (no caso clássico de Hertz essa constante tem um valor específico). A expressão obtida tem as dependências pedidas: proporcional a R e a V^{-1/5}, e combina \rho e \mathcal{E} com expoentes que garantem homogeneidade dimensional.

Resposta

t = k\, R \sqrt[5]{\frac{\rho^{2}}{\mathcal{E}^{2} V}}

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