A velocidade de um gás, depende apenas do mol do gás, N , da sua temperatura absoluta T , da constante universal dos gases R e da massa do gás. Então a velocidade é função de N, R, T e m do gás. Determine a equação para a velocidade do gás.
v=k \sqrt{\frac{N R T}{m}}
Passo 1
Enunciado: a velocidade de um gás depende apenas do número de mols do gás N, da constante universal dos gases R, da temperatura absoluta T e da massa do gás m. Pede-se determinar a equação para a velocidade do gás.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Variáveis: }N\\ (\text{número de mols}),\; R\\ (\text{constante dos gases}),\; T\\ (\text{temperatura absoluta}),\; m\\ (\text{massa do gás}),\\\ &\text{Desejo: uma expressão para }v\text{ em função de }N,\,R,\,T,\,m. \end{aligned}
Passo 2
Estratégia: vou usar análise dimensional — uma técnica que monta uma combinação das grandezas dadas de modo que as unidades resultem nas unidades de velocidade. A ideia é procurar uma relação do tipo
v = k\,N^{a}R^{b}T^{c}m^{d},
onde k é uma constante adimensional (sem unidade) e a,b,c,d são expoentes reais a determinar. Vou explicar as unidades de cada termo para igualar as dimensões.
Observação útil: ao multiplicar N (em mol) por R (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e por T (em K), as unidades de \mathrm{mol} e \mathrm{K} se cancelam, deixando joules (\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}), que é energia. Isso já dá pista do formato final: velocidade costuma ter dimensão de \sqrt{\text{energia}/\text{massa}}.
Passo 3
Agora uso a forma proposta e escrevo as dimensões do lado direito, combinando as unidades de cada fator:
Agora agrupo expoentes por cada dimensão básica (massa \mathrm{kg}\), comprimento \(\mathrm{m}\), tempo \(\mathrm{s}\), mol e kelvin):
\[\begin{aligned} &\text{massa (kg): } &b + d,\\\ &\text{comprimento (m): } &2b,\\\ &\text{tempo (s): } &-2b,\\\ &\text{mol: } &a - b,\\\ &\text{temperatura (K): } &-b + c. \end{aligned}
Esses expoentes devem igualar os expoentes das dimensões de v, que são: massa 0, comprimento 1, tempo -1, mol 0, temperatura 0. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} b + d = 0,\\[4pt] 2b = 1,\\[4pt] -2b = -1,\\[4pt] a - b = 0,\\[4pt] -c + b = 0. \end{cases}
As duas equações para tempo e comprimento trazem a mesma informação e dão
b = \tfrac{1}{2}.
Usando (b=\tfrac{1}{2}] nas outras equações: \begin{aligned} a - b = 0 &\implies a = b = \tfrac{1}{2},\\\\ -b + c = 0 &\implies c = b = \tfrac{1}{2},\\\ b + d = 0 &\implies d = -b = -\tfrac{1}{2}. \end{aligned}]
Passo 4
Substituo os expoentes encontrados na forma proposta:
v = k\,N^{1/2}R^{1/2}T^{1/2}m^{-1/2}.
Isso pode ser reescrito de maneira mais clara como
v = k\sqrt{\frac{NRT}{m}}.
Interpretação da constante k: ela é adimensional e depende da definição física precisa de “velocidade” que estamos usando. Por exemplo, na teoria cinética dos gases, a velocidade quadrática média (root-mean-square) das moléculas é
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde M é a massa molar (M = m/N). Substituindo M=m/N na expressão acima, obtemos
Ou seja, para a velocidade quadrática média o fator adimensional é k=\sqrt{3}. Em outros contextos k pode ter outro valor numérico; a análise dimensional não determina k, apenas a dependência funcional das grandezas.