Para qualquer tipo de movimento, a massa de uma partícula permanece constante (princípio da conservação da massa). Considerando a massa como produto da densidade pelo volume, mostre que para uma deformação infinitesimal
, onde
é a densidade inicial e
a densidade após a deformação . Mostre que
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente):
- Dá-se que a massa de uma partícula é conservada durante qualquer movimento.
- Define-se a densidade inicial como
e a densidade após a deformação como . - Pede-se para mostrar duas relações para uma deformação infinitesimal:
-
; - a partir daí, mostrar que
.
-
Informações relevantes que virão a ser usadas: conservação de massa (massa inicial = massa final), densidade = massa/volume, relação entre variação de volume e gradiente de deformação (determinante do gradiente de deformação) e a definição da pequena deformação
em termos do deslocamento.
Passo 2
Escrevendo a conservação de massa de forma local: massa inicial = massa final num pequeno elemento material. Se
é o volume no estado inicial e
o volume no estado deformado, então
Isso é apenas a tradução matemática de “massa = densidade × volume” aplicada antes e depois da deformação. A partir daí obteremos a relação entre
e
usando a razão dos volumes:
Passo 3
Para ligar
a
precisamos introduzir a deformação por meio da transformação das coordenadas materiais para as coordenadas espaciais. Se
são as coordenadas iniciais (referência) e
as coordenadas após deformação, definimos o deslocamento
O gradiente de deformação (gradiente de mapeamento) é a matriz
O fator de variação de volume (Jacobian) é o determinante dessa matriz:
A relação entre volumes é
Então, combinando com conservação de massa, obtemos
Essa é uma expressão exata válida para deformações finitas também.
Passo 4
Agora especializamos ao caso de deformação infinitesimal. Para pequenas deformações podemos escrever
onde
é o delta de Kronecker (identidade) e
são pequenos termos. Definindo a matriz pequena
por
, temos
Para matrizes pequenas vale a expansão em primeira ordem
Portanto, ao desprezar termos de segunda ordem em relação aos pequenos componentes de
,
Passo 5
Vamos explicar por que
é plausível e dar um exemplo simples para intuir: em duas dimensões, com
temos
O termo
é de segunda ordem nos pequenos parâmetros
, enquanto
é de primeira ordem. Assim, desprezando
,
Uma forma mais geral é usar
e expandir
para pequenas
, levando ao mesmo resultado linear.
Passo 6
Conectar
com
. A pequena tensão (pequena deformação simétrica) é definida pelo tensor de pequena deformação
Agora observe que a traça de
é
Aqui usei a convenção de soma de Einstein: índice repetido implica somatória sobre
. Note também que
porque
e a traça pega
. Portanto
Passo 7
Juntando os resultados: para deformação infinitesimal temos
Substituindo na relação de conservação de massa
(do Passo 3) obtemos a primeira igualdade pedida:
Passo 8
Finalmente, isolando
e usando a aproximação de primeira ordem para
(ou seja,
quando
é pequeno, descartando
), obtemos
Isso conclui a dedução até a ordem linear em
.