Para qualquer tipo de movimento, a massa de uma partícula permanece constante (princípio da conservação da massa). Considerando a massa como produto da densidade pelo volume, mostre que para uma deformação infinitesimal \rho\left(1+\varepsilon_{i i}\right)=\rho_{0}, onde \rho_{0} é a densidade inicial e \rho a densidade após a deformação . Mostre que \rho=\rho_{0}\left(1-\varepsilon_{i i}\right)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente):
  • Dá-se que a massa de uma partícula é conservada durante qualquer movimento.
  • Define-se a densidade inicial como \rho_{0} e a densidade após a deformação como \rho.
  • Pede-se para mostrar duas relações para uma deformação infinitesimal:
    • \rho\left(1+\varepsilon_{i i}\right)=\rho_{0};
    • a partir daí, mostrar que \rho=\rho_{0}\left(1-\varepsilon_{i i}\right).
Informações relevantes que virão a ser usadas: conservação de massa (massa inicial = massa final), densidade = massa/volume, relação entre variação de volume e gradiente de deformação (determinante do gradiente de deformação) e a definição da pequena deformação \varepsilon_{ij} em termos do deslocamento.

Passo 2

Escrevendo a conservação de massa de forma local: massa inicial = massa final num pequeno elemento material. Se dV_0 é o volume no estado inicial e dV o volume no estado deformado, então
\rho_{0}\,dV_0=\rho\,dV.
Isso é apenas a tradução matemática de “massa = densidade × volume” aplicada antes e depois da deformação. A partir daí obteremos a relação entre \rho e \rho_{0} usando a razão dos volumes:
\rho=\rho_{0}\,\frac{dV_0}{dV}.

Passo 3

Para ligar dV a dV_0 precisamos introduzir a deformação por meio da transformação das coordenadas materiais para as coordenadas espaciais. Se \mathbf{X} são as coordenadas iniciais (referência) e \mathbf{x} as coordenadas após deformação, definimos o deslocamento
\mathbf{u}(\mathbf{X})=\mathbf{x}-\mathbf{X}.
O gradiente de deformação (gradiente de mapeamento) é a matriz
F_{iJ}=\frac{\partial x_i}{\partial X_J}.
O fator de variação de volume (Jacobian) é o determinante dessa matriz:
J=\det F.
A relação entre volumes é
dV = J\,dV_0.
Então, combinando com conservação de massa, obtemos
\rho = \rho_{0}\,\frac{1}{J}, \quad\text{ou}\quad \rho\,J=\rho_{0}.
Essa é uma expressão exata válida para deformações finitas também.

Passo 4

Agora especializamos ao caso de deformação infinitesimal. Para pequenas deformações podemos escrever
F_{iJ}=\delta_{iJ}+\frac{\partial u_i}{\partial X_J},
onde \delta_{iJ} é o delta de Kronecker (identidade) e \partial u_i/\partial X_J são pequenos termos. Definindo a matriz pequena A por A_{iJ}=\dfrac{\partial u_i}{\partial X_J}, temos
F=I+A.
Para matrizes pequenas vale a expansão em primeira ordem
\det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+O(A^2).
Portanto, ao desprezar termos de segunda ordem em relação aos pequenos componentes de A,
J=\det F \approx 1+\operatorname{tr}\!A.

Passo 5

Vamos explicar por que \det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+O(A^2) é plausível e dar um exemplo simples para intuir: em duas dimensões, com
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(I+A)=\det\begin{pmatrix}1+a & b\\\ c & 1+d\end{pmatrix}=(1+a)(1+d)-bc=1+(a+d)+(ad-bc).
O termo (ad-bc) é de segunda ordem nos pequenos parâmetros a,b,c,d, enquanto a+d=\operatorname{tr}A é de primeira ordem. Assim, desprezando O(A^2),
\det(I+A)\approx 1+\operatorname{tr}A.
Uma forma mais geral é usar \det F=\exp(\operatorname{tr}\ln F) e expandir \ln(I+A)\approx A para pequenas A, levando ao mesmo resultado linear.

Passo 6

Conectar \operatorname{tr}A com \varepsilon_{ii}. A pequena tensão (pequena deformação simétrica) é definida pelo tensor de pequena deformação
\varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right).
Agora observe que a traça de \varepsilon_{ij} é
\varepsilon_{ii}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_i}+\frac{\partial u_i}{\partial X_i}\right)=\frac{\partial u_i}{\partial X_i}.
Aqui usei a convenção de soma de Einstein: índice repetido implica somatória sobre i=1,2,3. Note também que \operatorname{tr}A=\dfrac{\partial u_i}{\partial X_i} porque A_{iJ}=\dfrac{\partial u_i}{\partial X_J} e a traça pega i=J. Portanto
\operatorname{tr}A=\varepsilon_{ii}.

Passo 7

Juntando os resultados: para deformação infinitesimal temos
J\approx 1+\operatorname{tr}A=1+\varepsilon_{ii}.
Substituindo na relação de conservação de massa \rho J=\rho_{0} (do Passo 3) obtemos a primeira igualdade pedida:
\rho\left(1+\varepsilon_{ii}\right)=\rho_{0}.

Passo 8

Finalmente, isolando \rho e usando a aproximação de primeira ordem para 1/(1+\varepsilon_{ii}) (ou seja, 1/(1+\varepsilon)\approx 1-\varepsilon quando \varepsilon é pequeno, descartando O(\varepsilon^2)), obtemos
\rho=\rho_{0}\,\frac{1}{1+\varepsilon_{ii}}\approx\rho_{0}\left(1-\varepsilon_{ii}\right).
Isso conclui a dedução até a ordem linear em \varepsilon_{ij}.

Resposta

\rho\left(1+\varepsilon_{ii}\right)=\rho_{0}
\rho=\rho_{0}\left(1-\varepsilon_{ii}\right)

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