Determine a componente
em
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para determinar a componente
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão usa índices
e . - O índice
aparece repetido em cada termo, o que indica soma sobre (convenção de somatório de Einstein). - O índice
é livre; para encontrar devemos colocar . - O símbolo
pode ser apenas um componente com índices trocados ou, em notação comum de tensores, pode significar derivada parcial . Para determinar não é necessário escolher já entre essas interpretações: trata-se de um índice e um índice no segundo fator.
Passo 2
Explicando a convenção de somatório (passo didático): quando um índice aparece duas vezes numa expressão (aqui
), isso significa que se soma esse termo sobre todos os valores possíveis de
. Se os índices variam de
a
, então
Isso permite escrever componentes individuais fazendo
assumir um valor fixo e somando sobre
.
Passo 3
Agora substituímos
na fórmula original (a ação de obter a componente
):
Passo 4
Fatorando
(mesmo índice repetido, continua somatório sobre
):
Esta é uma forma compacta e muitas vezes a mais útil para a prova: indica que para cada
calcula-se
e multiplica-se por
, depois soma-se sobre
.
Passo 5
Se for necessário escrever a soma explicitamente (por exemplo assumindo espaço tridimensional,
), expandimos a soma:
Essa é a versão totalmente expandida componente a componente.
Passo 6
Comentário didático sobre o termo
: se a notação com vírgula indica derivada parcial, então
e a fórmula deve ser lida como
onde
é a abreviação de
. A manipulação algébrica para obter
é a mesma; apenas muda a interpretação física/matemática de
.
Passo 7
Resumo prático para a prova: ao ver
e pedirem
, faça
, use a convenção de soma para
e, se necessário, expanda os termos para cada valor de
. Isso evita confusão com sinais ou índices trocados.