Determine a componente f_{2} em
f_{i}=c_{i j} b_{j}-c_{j, i} b_{j}

Passo 1

O enunciado dá a relação
f_{i}=c_{i j} b_{j}-c_{j, i} b_{j}
e pede para determinar a componente f_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão usa índices i e j.
  • O índice j aparece repetido em cada termo, o que indica soma sobre j (convenção de somatório de Einstein).
  • O índice i é livre; para encontrar f_{2} devemos colocar i=2.
  • O símbolo c_{j,i} pode ser apenas um componente com índices trocados ou, em notação comum de tensores, pode significar derivada parcial \partial c_{j}/\partial x_{i}. Para determinar f_{2} não é necessário escolher já entre essas interpretações: trata-se de um índice j e um índice 2 no segundo fator.

Passo 2

Explicando a convenção de somatório (passo didático): quando um índice aparece duas vezes numa expressão (aqui j), isso significa que se soma esse termo sobre todos os valores possíveis de j. Se os índices variam de 1 a n, então
c_{i j} b_{j}= \sum_{j=1}^{n} c_{i j} b_{j}.
Isso permite escrever componentes individuais fazendo i assumir um valor fixo e somando sobre j.

Passo 3

Agora substituímos i=2 na fórmula original (a ação de obter a componente f_{2}):
f_{2}=c_{2 j} b_{j}-c_{j,2} b_{j}.

Passo 4

Fatorando b_{j} (mesmo índice repetido, continua somatório sobre j):
f_{2}=(c_{2 j}-c_{j,2})\,b_{j}.
Esta é uma forma compacta e muitas vezes a mais útil para a prova: indica que para cada j calcula-se c_{2j}-c_{j2} e multiplica-se por b_j, depois soma-se sobre j.

Passo 5

Se for necessário escrever a soma explicitamente (por exemplo assumindo espaço tridimensional, j=1,2,3), expandimos a soma:
f_{2}=(c_{21}-c_{1,2})\,b_{1}+(c_{22}-c_{2,2})\,b_{2}+(c_{23}-c_{3,2})\,b_{3}.
Essa é a versão totalmente expandida componente a componente.

Passo 6

Comentário didático sobre o termo c_{j,2}: se a notação com vírgula indica derivada parcial, então c_{j,2}=\dfrac{\partial c_{j}}{\partial x_{2}} e a fórmula deve ser lida como
f_{2}=\sum_{j}(c_{2j}-\partial_{2}c_{j})\,b_{j},
onde \partial_{2}c_{j} é a abreviação de \dfrac{\partial c_{j}}{\partial x_{2}}. A manipulação algébrica para obter f_{2} é a mesma; apenas muda a interpretação física/matemática de c_{j,2}.

Passo 7

Resumo prático para a prova: ao ver f_{i}=c_{i j} b_{j}-c_{j, i} b_{j} e pedirem f_{2}, faça i\leftarrow2, use a convenção de soma para j e, se necessário, expanda os termos para cada valor de j. Isso evita confusão com sinais ou índices trocados.

Resposta

f_{2}=\sum_{j}(c_{2j}-c_{j,2})\,b_{j}
f_{2}=(c_{21}-c_{1,2})\,b_{1}+(c_{22}-c_{2,2})\,b_{2}+(c_{23}-c_{3,2})\,b_{3}

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