Faça as somas em D_{i j} x_{i} x_{j} para:
D_{i j}=-D_{j i}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \,D_{ij}x_i x_j\, e a condição \,D_{ij}=-D_{ji}\,.
O que se pede: calcular (fazer) as somas implícitas em \,D_{ij}x_i x_j\, — isto é, avaliar a contração dupla sobre os índices i e j.
Pressuposição natural: os índices i e j são índices de soma (convenção de Einstein), variando de 1 até n para alguma dimensão n.

Passo 2

Esclarecendo a notação de soma: a expressão \,D_{ij}x_i x_j\, significa explicitamente
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} D_{ij}\,x_i\,x_j.
Aqui x_i são componentes de um vetor e D_{ij} são componentes de uma matriz (ou tensor de ordem 2). Sempre que um índice aparece repetido, soma-se sobre ele.

Passo 3

Definições e propriedade útil:
  • A condição \,D_{ij}=-D_{ji}\, diz que D é anti-simétrica (ou antissimétrica): trocar os índices inverte o sinal.
  • A expressão x_i x_j é simétrica em i e j, porque a multiplicação de escalares comuta: \,x_i x_j = x_j x_i\, para quaisquer componentes escalares x_i,x_j.

Passo 4

Agora a conta chave (uso de índices-dummy e troca de índices):
Defina
S \coloneqq D_{ij}x_i x_j.
Trocando os nomes dos índices dummy i e j na soma (isso não altera o valor da soma), obtemos
S = D_{ji}x_j x_i.
Usando que x_j x_i = x_i x_j e D_{ji} = -D_{ij}, temos
S = D_{ji}x_j x_i = (-D_{ij})x_i x_j = -\,D_{ij}x_i x_j = -S.
Logo S = -S, o que implica
2S = 0 \quad\Rightarrow\quad S = 0.

Passo 5

Método alternativo (muito usado): escrever como média simétrica/anti-simétrica
D_{ij}x_i x_j = \tfrac{1}{2}\bigl(D_{ij}x_i x_j + D_{ji}x_j x_i\bigr).
Mas D_{ji}=-D_{ij} e x_j x_i = x_i x_j, então o parêntese é D_{ij}x_i x_j - D_{ij}x_i x_j = 0, novamente dando zero.

Passo 6

Exemplo numérico simples (para fixar a intuição): em n=2,
D=\begin{pmatrix}0 & a\\\\ -a & 0\end{pmatrix},\qquad x=(x_1,x_2).
Então
D_{ij}x_i x_j = D_{11}x_1^2 + D_{12}x_1x_2 + D_{21}x_2x_1 + D_{22}x_2^2 = 0 + a x_1x_2 - a x_2x_1 + 0 = 0,
pois x_2x_1=x_1x_2.

Resposta

0

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