O enunciado dá a expressão \,D_{ij}x_i x_j\, e a condição \,D_{ij}=-D_{ji}\,.
O que se pede: calcular (fazer) as somas implícitas em \,D_{ij}x_i x_j\, — isto é, avaliar a contração dupla sobre os índices i e j.
Pressuposição natural: os índices i e j são índices de soma (convenção de Einstein), variando de 1 até n para alguma dimensão n.
Passo 2
Esclarecendo a notação de soma: a expressão \,D_{ij}x_i x_j\, significa explicitamente
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} D_{ij}\,x_i\,x_j.
Aqui x_i são componentes de um vetor e D_{ij} são componentes de uma matriz (ou tensor de ordem 2). Sempre que um índice aparece repetido, soma-se sobre ele.
Passo 3
Definições e propriedade útil:
A condição \,D_{ij}=-D_{ji}\, diz que D é anti-simétrica (ou antissimétrica): trocar os índices inverte o sinal.
A expressão x_i x_j é simétrica em i e j, porque a multiplicação de escalares comuta: \,x_i x_j = x_j x_i\, para quaisquer componentes escalares x_i,x_j.
Passo 4
Agora a conta chave (uso de índices-dummy e troca de índices):
Defina
S \coloneqq D_{ij}x_i x_j.
Trocando os nomes dos índices dummy i e j na soma (isso não altera o valor da soma), obtemos
S = D_{ji}x_j x_i.
Usando que x_j x_i = x_i x_j e D_{ji} = -D_{ij}, temos