(a) Quanta carga pode ser colocada em um capacitor com ar entre as placas antes que ele sofra um rompimento dielétrico se a área da placa é 5,0 \mathrm{~cm}^{2} ? (b) Encontre a carga máxima se o poliestireno for utilizado entre as placas em vez do ar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Qual a carga máxima que pode ser colocada em um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, antes de ocorrer rompimento dielétrico.
  • (b) Qual a carga máxima se o dielétrico entre as placas for poliestireno em vez do ar.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Área da placa: A = 5,0\\ \mathrm{cm}^{2}.
Observações que vou usar (valores típicos de referência, tomados como padrão para este tipo de problema):
  • Permissividade do vácuo (constante elétrica): \varepsilon_{0} = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Intensidade de campo elétrico de ruptura (valor típico para ar): E_{\text{rupt, ar}} \approx 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • Constante dielétrica (permitividade relativa) do poliestireno: k \approx 2{,}5.
  • Intensidade de campo de ruptura típica do poliestireno: E_{\text{rupt, PS}} \approx 2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{V/m}.
Esses valores de campo de ruptura são aproximações típicas usadas em problemas; se o exame especificar outros valores, substituir pelos dados do enunciado.

Passo 2

Conceito físico e fórmula principal (aula rápida e prática).
  • Em um capacitor de placas paralelas, próximo ao rompimento dielétrico o maior campo elétrico tolerável é o campo de ruptura E_{\text{rupt}}. A densidade de carga superficial máxima \sigma_{\max} está relacionada a E_{\text{rupt}} pela Lei de Gauss (no caso uniforme entre placas paralelas):
\sigma_{\max} = \varepsilon E_{\text{rupt}},
onde \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas. Para o vácuo (ou ar, aproximado por vácuo) \varepsilon=\varepsilon_{0}. Para um dielétrico com constante k, \varepsilon = k\,\varepsilon_{0}.
  • A carga máxima Q_{\max} armazenada numa placa de área A é simplesmente a densidade de carga vezes a área:
Q_{\max} = \sigma_{\max}\,A = \varepsilon\,E_{\text{rupt}}\,A.
Explicação das variáveis:
  • \varepsilon: permissividade do meio (em \mathrm{F/m}).
  • E_{\text{rupt}}: campo elétrico máximo antes do rompimento (em \mathrm{V/m}).
  • A: área da placa (em \mathrm{m}^{2}).
  • Q_{\max}: carga máxima (em coulomb, \mathrm{C}).

Passo 3

Conversão de unidades e preparação dos números para cálculo.
  • Converter a área dada para metros quadrados:
A = 5{,}0\\ \mathrm{cm}^{2} = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
pois 1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Valores numéricos que vamos usar (repetindo):
\varepsilon_{0} = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \quad E_{\text{rupt, ar}} = 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m},
k_{\text{PS}} = 2{,}5, \quad E_{\text{rupt, PS}} = 2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Cálculo da carga máxima com ar entre as placas (parte a).
Aplicando a fórmula Q_{\max}=\varepsilon_{0}\,E_{\text{rupt, ar}}\,A:
Q_{\max,\text{ar}} = \left(8{,}85\times10^{-12}\right)\left(3{,}0\times10^{6}\right)\left(5{,}0\times10^{-4}\right)\\ \mathrm{C}.
Fazendo as multiplicações passo a passo:
8{,}85\times10^{-12}\times 3{,}0\times10^{6} = 8{,}85\cdot 3{,}0 \times 10^{-12+6} = 26{,}55\times10^{-6} = 2{,}655\times10^{-5}.
Agora multiplicando por 5{,}0\times10^{-4}:
2{,}655\times10^{-5}\times 5{,}0\times10^{-4} = 2{,}655\cdot5{,}0 \times 10^{-5-4} = 13{,}275\times10^{-9} = 1{,}3275\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Arredondando de forma sensata (dados com 2–3 algarismos significativos), obtemos:
Q_{\max,\text{ar}} \approx 1{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da carga máxima com poliestireno entre as placas (parte b).
Aqui \varepsilon = k_{\text{PS}}\,\varepsilon_{0}. Aplicando Q_{\max} = k\,\varepsilon_{0}\,E_{\text{rupt, PS}}\,A:
Q_{\max,\text{PS}} = \left(2{,}5\right)\left(8{,}85\times10^{-12}\right)\left(2{,}0\times10^{7}\right)\left(5{,}0\times10^{-4}\right)\\ \mathrm{C}.
Calculemos em etapas:
8{,}85\times10^{-12}\times 2{,}0\times10^{7} = 8{,}85\cdot 2{,}0 \times 10^{-12+7} = 17{,}7\times10^{-5} = 1{,}77\times10^{-4}.
Multiplicando por 5{,}0\times10^{-4}:
1{,}77\times10^{-4}\times 5{,}0\times10^{-4} = 1{,}77\cdot5{,}0 \times 10^{-4-4} = 8{,}85\times10^{-8}.
Finalmente multiplicando por k_{\text{PS}}=2{,}5:
Q_{\max,\text{PS}} = 2{,}5\times 8{,}85\times10^{-8} = 22{,}125\times10^{-8} = 2{,}2125\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente,
Q_{\max,\text{PS}} \approx 2{,}21\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação final e comparação rápida (motivação para a prova).
  • A presença do dielétrico aumenta duas coisas que entram no produto: a permissividade ( k\,\varepsilon_{0}) e o campo de ruptura típico (polímeros como poliestireno toleram campos maiores que o ar). Por isso a carga máxima com poliestireno é bem maior (aqui cerca de 17 vezes maior) do que com ar.
  • Em uma prova, o procedimento padrão é: converter unidades, lembrar Q_{\max}=\varepsilon E_{\text{rupt}}A, inserir \varepsilon=\varepsilon_{0} para ar ou \varepsilon=k\varepsilon_{0} para dielétrico, e usar valores de E_{\text{rupt}} adequados (se o enunciado der um valor substituir; caso contrário use valores típicos e declare-os).

Resposta

(a) Q_{\max,\text{ar}} \approx 1{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
(b) Q_{\max,\text{PS}} \approx 2{,}21\times10^{-7}\\ \mathrm{C}

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