Quantas diagonais possui:
um dodecaedro regular?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um dodecaedro regular?”\n
Informações relevantes que usarei (essas são propriedades conhecidas do dodecaedro regular e vou empregá-las):\n
  • O dodecaedro regular tem F=12 faces, e cada face é um pentágono (ou seja, cada face tem 5 arestas).\n
  • Cada aresta pertence a exatamente duas faces (regra geral para poliedros convexos sem bordas soltas).\n
    O objetivo é encontrar o número de diagonais do poliedro, ou seja, o número de segmentos que ligam dois vértices que NÃO são arestas.

Passo 2

Primeiro vou calcular o número de arestas E. Uso a contagem das incidências face–aresta: cada uma das 12 faces tem 5 arestas, então o total de “incidências” face–aresta é 12\cdot 5. Mas cada aresta é contada em duas faces, portanto
E=\frac{12\cdot 5}{2}.
Calculemos: 12\cdot 5=60, então
E=\frac{60}{2}=30.
Interpretação: o dodecaedro regular tem E=30 arestas.

Passo 3

Agora preciso do número de vértices V. Vou usar a fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2,
onde \,V é o número de vértices, \,E o número de arestas e \,F o número de faces. Nessa fórmula cada termo significa:
  • \,V: quantos vértices existem no poliedro;
  • \,E: quantas arestas existem;
  • \,F: quantas faces existem;
    e o equilíbrio V-E+F=2 vale para todo poliedro convexo simples (como o dodecaedro regular).\n
    Substituindo E=30 e F=12, obtemos
V - 30 + 12 = 2.
Assim
V = 2 + 30 - 12.
Calcule:
V = 20.
Interpretação: o dodecaedro regular tem V=20 vértices.

Passo 4

Para contar quantos segmentos unem pares de vértices (ou seja, o total de pares distintos de vértices), uso a fórmula de combinações para escolher 2 vértices dentre V:
\binom{V}{2}=\frac{V(V-1)}{2}.
Aqui \binom{V}{2} significa “número de maneiras de escolher 2 vértices dentre V sem ordem”, e a fórmula \frac{V(V-1)}{2} é a forma fechada para isso.\n
Com V=20,
\binom{20}{2}=\frac{20\cdot 19}{2}.
Calcule: 20\cdot 19=380, então
\binom{20}{2}=\frac{380}{2}=190.
Interpretação: existem 190 segmentos que ligam pares de vértices (contando tanto arestas quanto diagonais).

Passo 5

Definição prática de diagonais do poliedro que uso aqui: diagonais são justamente os segmentos que unem dois vértices que NÃO são arestas. Então o número de diagonais é
\text{(número total de pares de vértices)} - \text{(número de arestas)}.úéú
Em símbolos:
\text{diagonais}=\binom{V}{2}-E.
Substituindo os valores que encontramos ( \binom{20}{2}=190 e E=30):
\text{diagonais}=190-30.
Portanto
\text{diagonais}=160.

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo rápido: num cubo temos V=8, \binom{8}{2}=28 pares de vértices, E=12 arestas, logo diagonais =28-12=16 (que correspondem às 12 diagonais de faces mais as 4 diagonais espaciais). A lógica é a mesma que usei no dodecaedro: contar todos os pares e subtrair as arestas.

Resposta

160

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