Quantas diagonais possui:
um dodecaedro regular?
um dodecaedro regular?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quantas diagonais possui um dodecaedro regular?”\n
Informações relevantes que usarei (essas são propriedades conhecidas do dodecaedro regular e vou empregá-las):\n
Informações relevantes que usarei (essas são propriedades conhecidas do dodecaedro regular e vou empregá-las):\n
- O dodecaedro regular tem
faces, e cada face é um pentágono (ou seja, cada face tem arestas).\n - Cada aresta pertence a exatamente duas faces (regra geral para poliedros convexos sem bordas soltas).\n
O objetivo é encontrar o número de diagonais do poliedro, ou seja, o número de segmentos que ligam dois vértices que NÃO são arestas.
Passo 2
Primeiro vou calcular o número de arestas
. Uso a contagem das incidências face–aresta: cada uma das
faces tem
arestas, então o total de “incidências” face–aresta é
. Mas cada aresta é contada em duas faces, portanto
Calculemos:
, então
Interpretação: o dodecaedro regular tem
arestas.
Passo 3
Agora preciso do número de vértices
. Vou usar a fórmula de Euler para poliedros convexos:
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces. Nessa fórmula cada termo significa:
-
: quantos vértices existem no poliedro; -
: quantas arestas existem; -
: quantas faces existem;
e o equilíbriovale para todo poliedro convexo simples (como o dodecaedro regular).\n
Substituindoe , obtemos
Assim
Calcule:
Interpretação: o dodecaedro regular tem
vértices.
Passo 4
Para contar quantos segmentos unem pares de vértices (ou seja, o total de pares distintos de vértices), uso a fórmula de combinações para escolher 2 vértices dentre
:
Aqui
significa “número de maneiras de escolher 2 vértices dentre
sem ordem”, e a fórmula
é a forma fechada para isso.\n
Com ,
Com
Calcule:
, então
Interpretação: existem
segmentos que ligam pares de vértices (contando tanto arestas quanto diagonais).
Passo 5
Definição prática de diagonais do poliedro que uso aqui: diagonais são justamente os segmentos que unem dois vértices que NÃO são arestas. Então o número de diagonais é
Em símbolos:
Substituindo os valores que encontramos (
e
):
Portanto
Passo 6
Para fixar a ideia com um exemplo rápido: num cubo temos
,
pares de vértices,
arestas, logo diagonais
(que correspondem às
diagonais de faces mais as
diagonais espaciais). A lógica é a mesma que usei no dodecaedro: contar todos os pares e subtrair as arestas.