Quantas das funções tem derivada igual a 0 quando x=0 ?
\begin{array}{cc} f(x)=\frac{\cos x}{x+1} & h(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}+2\right) \\\ g(x)=x \ln (x+1) & l(x)=e^{x}+x e^{x} \end{array}
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado nos dá quatro funções e pede em quantas delas vale \,f'(0)=0. Vamos usar: regra do quociente, regra do produto, regra da cadeia e regra da soma para derivar cada uma em x=0.

Passo 2

Para
f(x)=\frac{\cos x}{x+1}
aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{-\sin x\,(x+1)-\cos x\cdot1}{(x+1)^2}
Logo, em x=0:
f'(0)=\frac{-\sin0\cdot1-\cos0}{1^2}=\frac{0-1}{1}=-1\neq0.

Passo 3

Para
g(x)=x\ln(x+1)
usamos a regra do produto:
g'(x)=1\cdot\ln(x+1)+x\cdot\frac1{x+1}=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}.
Em x=0:
g'(0)=\ln1+\frac{0}{1}=0+0=0.

Passo 4

Para
h(x)=\sin\bigl(x^3+2\bigr)
aplicamos a regra da cadeia:
h'(x)=\cos\bigl(x^3+2\bigr)\cdot3x^2.
Em x=0:
h'(0)=\cos2\cdot0=0.

Passo 5

Para
l(x)=e^x + x\,e^x
usamos regra da soma e do produto: derivada de e^x é e^x e de x\,e^x é e^x+x\,e^x. Assim,
l'(x)=e^x+\bigl(e^x+x\,e^x\bigr)=e^x(2+x),
e em x=0:
l'(0)=e^0\cdot2=2\neq0.

Passo 6

Somente g e h têm derivada zero em x=0, totalizando 2 funções.

Resposta

c) 2

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