Uma função satisfaz a relação \mathrm{f}(2 \mathrm{x})=2 \mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(2) para qualquer valor real de x. Sabendo-se que f(4)=6, calcule f(16).

Passo 1

O enunciado dá
\mathrm{f}(2x)=2\mathrm{f}(x)+\mathrm{f}(2)
para todo real x e afirma que \mathrm{f}(4)=6. Queremos calcular \mathrm{f}(16).

Passo 2

Definimos a sequência g(n)=\mathrm{f}(2^n). Substituindo x=2^n na relação funcional, obtemos
g(n+1)=\mathrm{f}(2^{n+1})=\mathrm{f}(2\cdot2^n)=2\mathrm{f}(2^n)+\mathrm{f}(2)=2g(n)+\mathrm{f}(2).
Chamando \mathrm{f}(2)=c, a recorrência fica
g(n+1)=2g(n)+c.

Passo 3

Sabemos g(2)=\mathrm{f}(4)=6 e g(1)=\mathrm{f}(2)=c. Para n=1 a recorrência dá
g(2)=2g(1)+c=2c+c=3c
logo 3c=6 e c=2. Assim, \mathrm{f}(2)=2.

Passo 4

Usando c=2 e g(2)=6, calculamos
g(3)=2g(2)+c=2\cdot6+2=14,
g(4)=2g(3)+c=2\cdot14+2=30.
Como g(4)=\mathrm{f}(16), concluímos que \mathrm{f}(16)=30.

Resposta

\mathrm{f}(16)=30

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