De quantas maneiras diferentes podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira ?
Passo 1
O enunciado pergunta: de quantas maneiras diferentes podemos colocar
bolas em
urnas, de modo que fiquem
bolas na primeira urna,
bolas na segunda urna e
bolas na terceira.\n
Informações dadas:
Há
bolas no total.\n
As urnas são três e rotuladas (primeira, segunda, terceira).\n
Queremos que as urnas contenham, respectivamente,
,
e
bolas.\n
Observação importante (assunção): vou considerar que as bolas são distintas (por exemplo, numeradas de a
). Se as bolas fossem indistinguíveis, com as quantidades já especificadas haveria apenas uma maneira, então a interpretação usual é que as bolas são distintas.
Informações dadas:
Observação importante (assunção): vou considerar que as bolas são distintas (por exemplo, numeradas de
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): pense em distribuir as bolas em etapas. Primeiro escolho quais
bolas vão para a primeira urna; depois escolho quais
das restantes vão para a segunda urna; as
restantes vão automaticamente para a terceira urna. Pela regra do produto (quando fazemos escolhas sucessivas independentes, multiplicamos o número de opções), o número total de distribuições será o produto do número de escolhas em cada etapa.\n
Antes de aplicar, precisamos entender como contar "escolher objetos entre
". Para isso usamos combinações.\n
Definição e fórmula de combinação:\n
Antes de aplicar, precisamos entender como contar "escolher
Definição e fórmula de combinação:\n
onde
(lê-se "fatorial de
") é o produto dos inteiros de
até
:
, e por definição
.\n
é o número de subconjuntos com
elementos que podemos formar a partir de um conjunto com
elementos (ordem não importa).\n
Exemplo pequeno para fixar: . Isso corresponde às
maneiras de escolher
entre
objetos.
Exemplo pequeno para fixar:
Passo 3
Aplicando ao nosso problema em etapas:\n
Número de maneiras de escolher as
bolas que vão para a primeira urna:
.\n
Depois de retirar essas
, restam
bolas; número de maneiras de escolher
dessas
para a segunda urna:
.\n
As
bolas restantes irão para a terceira urna sem escolha adicional.\n
Pela regra do produto, o número total de distribuições é
Pela regra do produto, o número total de distribuições é
Passo 4
Explicação algébrica e relação com o coeficiente multinomial:\n
Use a fórmula de combinação para escrever cada termo:
Use a fórmula de combinação para escrever cada termo:
Multiplicando:
Essa expressão
é o coeficiente multinomial que conta de uma vez só o número de maneiras de particionar
objetos distintos em grupos rotulados de tamanhos
,
e
.
Passo 5
Cálculo prático simplificado (para você fazer rápido na prova):\n
portanto o número de distribuições é