De quantas maneiras diferentes podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira ?

Passo 1

O enunciado pergunta: de quantas maneiras diferentes podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira.\n
Informações dadas:

\bullet 10 bolas no total.\n
\bullet As urnas são três e rotuladas (primeira, segunda, terceira).\n
\bullet Queremos que as urnas contenham, respectivamente, 2, 3 e 5 bolas.\n
Observação importante (assunção): vou considerar que as bolas são distintas (por exemplo, numeradas de 1 a 10). Se as bolas fossem indistinguíveis, com as quantidades já especificadas haveria apenas uma maneira, então a interpretação usual é que as bolas são distintas.

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): pense em distribuir as bolas em etapas. Primeiro escolho quais 2 bolas vão para a primeira urna; depois escolho quais 3 das restantes vão para a segunda urna; as 5 restantes vão automaticamente para a terceira urna. Pela regra do produto (quando fazemos escolhas sucessivas independentes, multiplicamos o número de opções), o número total de distribuições será o produto do número de escolhas em cada etapa.\n
Antes de aplicar, precisamos entender como contar "escolher k objetos entre n". Para isso usamos combinações.\n
Definição e fórmula de combinação:\n
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde
\bullet n! (lê-se "fatorial de n") é o produto dos inteiros de 1 até n: n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1, e por definição 0!=1.\n
\bullet \binom{n}{k} é o número de subconjuntos com k elementos que podemos formar a partir de um conjunto com n elementos (ordem não importa).\n
Exemplo pequeno para fixar: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=6. Isso corresponde às 6 maneiras de escolher 2 entre 4 objetos.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema em etapas:\n

\bullet Número de maneiras de escolher as 2 bolas que vão para a primeira urna: \binom{10}{2}.\n
\bullet Depois de retirar essas 2, restam 8 bolas; número de maneiras de escolher 3 dessas 8 para a segunda urna: \binom{8}{3}.\n
\bullet As 5 bolas restantes irão para a terceira urna sem escolha adicional.\n
Pela regra do produto, o número total de distribuições é
\binom{10}{2}\cdot\binom{8}{3}.

Passo 4

Explicação algébrica e relação com o coeficiente multinomial:\n
Use a fórmula de combinação para escrever cada termo:
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!8!},\qquad \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}.
Multiplicando:
\binom{10}{2}\cdot\binom{8}{3} =\frac{10!}{2!8!}\cdot\frac{8!}{3!5!} =\frac{10!}{2!\,3!\,5!}.
Essa expressão \dfrac{10!}{2!\,3!\,5!} é o coeficiente multinomial que conta de uma vez só o número de maneiras de particionar 10 objetos distintos em grupos rotulados de tamanhos 2, 3 e 5.

Passo 5

Cálculo prático simplificado (para você fazer rápido na prova):\n
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45,
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56,
portanto o número de distribuições é
45\cdot56.

Resposta

2520

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