Quantos anagramas tem as palavras BANANA, MISSISSIPPI e ARARAQUARA?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas tem as palavras BANANA, MISSISSIPPI e ARARAQUARA?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As palavras são exatamente “BANANA”, “MISSISSIPPI” e “ARARAQUARA”.
  • A tarefa é contar o número de anagramas distintos (ou seja, arranjos distintos das letras) de cada palavra.

Passo 2

Vamos escolher o método: para contar anagramas de palavras com letras repetidas usamos a fórmula de permutações com elementos repetidos. Essa fórmula é a maneira direta e padrão para esse tipo de problema porque conta todas as ordens possíveis das letras e corrige a supercontagem quando letras são iguais.
A fórmula geral é: se temos n objetos no total, com n_1 objetos de um tipo indistinguível, n_2 de outro tipo, etc., então o número de arranjos distintos é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots\,n_k!}.
Aqui n! (lê-se “n fatorial”) significa o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n. Cada n_i! tem o mesmo significado aplicado à multiplicidade do tipo i.

Passo 3

Mini-aula sobre fatorial e por que dividimos: \n
  • Definição: para inteiro m\ge1, m! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots m. E por convenção 0! = 1. Ex.: 5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120.\n
  • Intuição da fórmula: se todas as letras fossem diferentes, o número de arranjos seria n!. Mas quando há letras repetidas, trocar duas letras idênticas não produz um novo anagrama; portanto para cada conjunto de trocas entre letras iguais estamos contando o mesmo arranjo várias vezes. Dividimos pelos fatoriais das multiplicidades n_i! para remover essas repetições.\n
  • Exemplo pequeno para fixar: a palavra “ABA” tem 3 letras com A repetida 2 vezes e B 1 vez. Pela fórmula o número de anagramas é
\frac{3!}{2!\,1!} = \frac{6}{2} = 3.
Os anagramas distintos são “AAB”, “ABA” e “BAA”. Isso mostra concretamente por que dividimos por 2!.

Passo 4

Agora vamos aplicar esse raciocínio à primeira palavra: “BANANA”. Primeiro contamos quantas letras tem e as multiplicidades de cada letra.
Contagem (vou contar as letras explicitamente):
  • Acontecem as letras A, N e B.
  • O total de letras é 6 (pois “BANANA” tem 6 letras).\n
    Contagem das multiplicidades:
  • A aparece 3 vezes.
  • N aparece 2 vezes.
  • B aparece 1 vez.

Passo 5

Aplicando a fórmula para “BANANA”: n=6, n_A=3, n_N=2, n_B=1. Portanto
\text{anagramas(BANANA)}=\frac{6!}{3!\,2!\,1!}.
Agora calculamos passo a passo:
6! = 720,\qquad 3! = 6,\qquad 2! = 2,\qquad 1! = 1.
Logo
\frac{6!}{3!\,2!\,1!}=\frac{720}{6\cdot 2\cdot 1}=\frac{720}{12}=60.

Passo 6

Próxima palavra: “MISSISSIPPI”. Primeiro contamos as letras e multiplicidades.
Contagem:
  • A palavra tem 11 letras no total.
  • Letras distintas e suas multiplicidades:
    • M aparece 1 vez.
    • I aparece 4 vezes.
    • S aparece 4 vezes.
    • P aparece 2 vezes.

Passo 7

Aplicando a fórmula para “MISSISSIPPI”: n=11, com n_M=1, n_I=4, n_S=4, n_P=2. Então
\text{anagramas(MISSISSIPPI)}=\frac{11!}{1!\,4!\,4!\,2!}.
Calculamos passo a passo. Sabemos que 11! = 39\,916\,800. Também
4! = 24,\qquad 2! = 2,\qquad 1! = 1.
O denominador é 1\cdot 24\cdot 24\cdot 2 = 24\cdot 24\cdot 2. Vamos dividir em etapas para facilitar sem calculadora complicada:
\frac{11!}{2!} = \frac{39\,916\,800}{2} = 19\,958\,400.
Agora dividimos por 4! (que é 24):
\frac{19\,958\,400}{24} = 831\,600.
E novamente dividimos por o outro 4!:
\frac{831\,600}{24} = 34\,650.
Portanto
\text{anagramas(MISSISSIPPI)} = 34\,650.

Passo 8

Última palavra: “ARARAQUARA”. Contamos letras e multiplicidades.
Contagem:
  • A palavra tem 10 letras no total.
  • Letras distintas e multiplicidades:
    • A aparece 5 vezes.
    • R aparece 3 vezes.
    • Q aparece 1 vez.
    • U aparece 1 vez.

Passo 9

Aplicando a fórmula para “ARARAQUARA”: n=10, com n_A=5, n_R=3, n_Q=1, n_U=1. Assim
\text{anagramas(ARARAQUARA)}=\frac{10!}{5!\,3!\,1!\,1!}=\frac{10!}{5!\,3!}.
Calculamos:
10! = 3\,628\,800,\qquad 5! = 120,\qquad 3! = 6.
O denominador 5!\,3! = 120\cdot 6 = 720. Então
\frac{10!}{5!\,3!}=\frac{3\,628\,800}{720}=5\,040.

Passo 10

Resumo rápido dos cálculos finais já obtidos:
  • BANANA \Rightarrow 60.
  • MISSISSIPPI \Rightarrow 34\,650.
  • ARARAQUARA \Rightarrow 5\,040.

Resposta

BANANA: 60
MISSISSIPPI: 34650
ARARAQUARA: 5040

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