Quantos anagramas tem as palavras BANANA, MISSISSIPPI e ARARAQUARA?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos anagramas tem as palavras BANANA, MISSISSIPPI e ARARAQUARA?”\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- As palavras são exatamente “BANANA”, “MISSISSIPPI” e “ARARAQUARA”.
- A tarefa é contar o número de anagramas distintos (ou seja, arranjos distintos das letras) de cada palavra.
Passo 2
Vamos escolher o método: para contar anagramas de palavras com letras repetidas usamos a fórmula de permutações com elementos repetidos. Essa fórmula é a maneira direta e padrão para esse tipo de problema porque conta todas as ordens possíveis das letras e corrige a supercontagem quando letras são iguais.
A fórmula geral é: se temos
objetos no total, com
objetos de um tipo indistinguível,
de outro tipo, etc., então o número de arranjos distintos é
Aqui
(lê-se “n fatorial”) significa o produto
. Cada
tem o mesmo significado aplicado à multiplicidade do tipo
.
Passo 3
Mini-aula sobre fatorial e por que dividimos: \n
- Definição: para inteiro
, . E por convenção . Ex.: .\n - Intuição da fórmula: se todas as letras fossem diferentes, o número de arranjos seria
. Mas quando há letras repetidas, trocar duas letras idênticas não produz um novo anagrama; portanto para cada conjunto de trocas entre letras iguais estamos contando o mesmo arranjo várias vezes. Dividimos pelos fatoriais das multiplicidades para remover essas repetições.\n - Exemplo pequeno para fixar: a palavra “ABA” tem
letras com repetida vezes e vez. Pela fórmula o número de anagramas é
Os anagramas distintos são “AAB”, “ABA” e “BAA”. Isso mostra concretamente por que dividimos por
.
Passo 4
Agora vamos aplicar esse raciocínio à primeira palavra: “BANANA”. Primeiro contamos quantas letras tem e as multiplicidades de cada letra.
Contagem (vou contar as letras explicitamente):
- Acontecem as letras
, e . - O total de letras é
(pois “BANANA” tem 6 letras).\n
Contagem das multiplicidades: -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vez.
Passo 5
Aplicando a fórmula para “BANANA”:
,
,
,
. Portanto
Agora calculamos passo a passo:
Logo
Passo 6
Próxima palavra: “MISSISSIPPI”. Primeiro contamos as letras e multiplicidades.
Contagem:
- A palavra tem
letras no total. - Letras distintas e suas multiplicidades:
-
aparece vez. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes.
-
Passo 7
Aplicando a fórmula para “MISSISSIPPI”:
, com
,
,
,
. Então
Calculamos passo a passo. Sabemos que
. Também
O denominador é
. Vamos dividir em etapas para facilitar sem calculadora complicada:
Agora dividimos por
(que é
):
E novamente dividimos por o outro
:
Portanto
Passo 8
Última palavra: “ARARAQUARA”. Contamos letras e multiplicidades.
Contagem:
- A palavra tem
letras no total. - Letras distintas e multiplicidades:
-
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vez. -
aparece vez.
-
Passo 9
Aplicando a fórmula para “ARARAQUARA”:
, com
,
,
,
. Assim
Calculamos:
O denominador
. Então
Passo 10
Resumo rápido dos cálculos finais já obtidos:
- BANANA
. - MISSISSIPPI
. - ARARAQUARA
.
Resposta
BANANA: 60
MISSISSIPPI: 34650
ARARAQUARA: 5040
MISSISSIPPI: 34650
ARARAQUARA: 5040