No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas
. De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas ?
Passo 1
O enunciado diz que, no jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho com 40 cartas (foram excluídas as cartas
). A pergunta é: de quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas? Informações relevantes que vamos usar sem resolver ainda: (i) o baralho tem
cartas distintas (cada carta é identificada por naipe e valor); (ii) a mão do jogador tem
cartas; (iii) ao falar “de quantas maneiras receber suas 3 cartas” entendemos que interessa a combinação de cartas que ele tem — isto é, a ordem em que as cartas chegam não importa (receber as cartas A,B,C é a mesma mão que receber C,B,A).
Passo 2
Primeira ideia contada de forma simples: imagina que a ordem importasse (ou seja, estamos contando sequências de 3 cartas). Para a primeira carta temos
opções, para a segunda
opções (pois não repetimos a mesma carta), e para a terceira
opções. Logo o número de sequências (ordenadas) possíveis é
Antes de prosseguir: explico o porquê desse raciocínio passo a passo — é a regra do produto. Se uma escolha tem
opções e, para cada uma delas, outra escolha tem
opções, então as duas escolhas juntas têm
opções. Aqui temos três escolhas sucessivas sem repetição, daí o produto acima.
Passo 3
Agora precisamos transformar esse número de sequências ordenadas no número de mãos (onde a ordem não importa). Cada mão concreta de 3 cartas aparece várias vezes quando contamos sequências: exatamente em todas as permutações das 3 cartas. O número de permutações de
objetos é
(lê-se “3 fatorial”), e
é definido como
Uma pequena explicação sobre fatorial: para ordenar
objetos distintos há
possibilidades, por isso a definição
.
Passo 4
Portanto, para obter o número de mãos (combinações sem ordem) devemos dividir o número de sequências ordenadas pelo número de permutações de cada mão:
Aqui cada fator tem significado claro:
conta sequências distintas; dividir por
remove a contagem repetida das diferentes ordens da mesma mão.
Passo 5
Vamos simplificar a fração de forma prática (passo a passo na conta, sem calculadora complicada). Sabemos que
. Podemos dividir antes de multiplicar para facilitar:
pois
. Agora calcule cada divisão simples:
Logo ficamos com
Calculando em partes:
. Assim