No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8,9,10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas ?

Passo 1

O enunciado diz que, no jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho com 40 cartas (foram excluídas as cartas 8,9,10). A pergunta é: de quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas? Informações relevantes que vamos usar sem resolver ainda: (i) o baralho tem 40 cartas distintas (cada carta é identificada por naipe e valor); (ii) a mão do jogador tem 3 cartas; (iii) ao falar “de quantas maneiras receber suas 3 cartas” entendemos que interessa a combinação de cartas que ele tem — isto é, a ordem em que as cartas chegam não importa (receber as cartas A,B,C é a mesma mão que receber C,B,A).

Passo 2

Primeira ideia contada de forma simples: imagina que a ordem importasse (ou seja, estamos contando sequências de 3 cartas). Para a primeira carta temos 40 opções, para a segunda 39 opções (pois não repetimos a mesma carta), e para a terceira 38 opções. Logo o número de sequências (ordenadas) possíveis é
40\cdot39\cdot38.
Antes de prosseguir: explico o porquê desse raciocínio passo a passo — é a regra do produto. Se uma escolha tem a opções e, para cada uma delas, outra escolha tem b opções, então as duas escolhas juntas têm a\cdot b opções. Aqui temos três escolhas sucessivas sem repetição, daí o produto acima.

Passo 3

Agora precisamos transformar esse número de sequências ordenadas no número de mãos (onde a ordem não importa). Cada mão concreta de 3 cartas aparece várias vezes quando contamos sequências: exatamente em todas as permutações das 3 cartas. O número de permutações de 3 objetos é 3! (lê-se “3 fatorial”), e 3! é definido como
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Uma pequena explicação sobre fatorial: para ordenar n objetos distintos há n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 possibilidades, por isso a definição n!.

Passo 4

Portanto, para obter o número de mãos (combinações sem ordem) devemos dividir o número de sequências ordenadas pelo número de permutações de cada mão:
\text{número de mãos} = \frac{40\cdot39\cdot38}{3!}.úã
Aqui cada fator tem significado claro: 40\cdot39\cdot38 conta sequências distintas; dividir por 3! remove a contagem repetida das diferentes ordens da mesma mão.

Passo 5

Vamos simplificar a fração de forma prática (passo a passo na conta, sem calculadora complicada). Sabemos que 3!=6. Podemos dividir antes de multiplicar para facilitar:
\frac{40\cdot39\cdot38}{6}=\frac{40}{2}\cdot\frac{39}{3}\cdot38,
pois 6=2\cdot3. Agora calcule cada divisão simples:
\frac{40}{2}=20,\qquad \frac{39}{3}=13.
Logo ficamos com
20\cdot13\cdot38.
Calculando em partes: 13\cdot38=494. Assim
20\cdot494=9880.

Resposta

9880

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