De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se em fila se duas pessoas específicas não podem ficar juntas?

Passo 1

O problema pede: de quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se em fila se duas pessoas específicas não podem ficar juntas?
Informações dadas:
  • 6 pessoas distintas para sentar numa fila (cadeiras em linha).
  • Duas pessoas específicas (chamo-as de A e B) não podem sentar-se juntas (isto é, não devem ocupar cadeiras adjacentes).
  • Deve-se contar todas as permutações possíveis respeitando essa restrição.

Passo 2

Primeiro calculemos o número total de maneiras de sentar 6 pessoas numa fila sem restrição.
Explicação da ideia: quando temos n objetos distintos a ordenar em fila, o número de ordenações possíveis é o fatorial de n, escrito n!, que é o produto dos inteiros de 1 até n. Ou seja,
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.
Aplicando para n=6, o total de ordenações sem restrição é
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Vamos calcular passo a passo:
6\cdot5=30,\quad 30\cdot4=120,\quad 120\cdot3=360,\quad 360\cdot2=720,\quad 720\cdot1=720.
Portanto o total sem restrição é \,6!=720.

Passo 3

Agora vamos contar quantas ordenações violam a condição (ou seja, em quantas o par A e B aparecem juntos). Em seguida subtraímos desse total para obter os que respeitam a restrição. Essa é a estratégia do complemento.
Método do “bloco”: trate A e B juntos como um único bloco. Assim, em vez de 6 objetos, teremos 5 objetos: o bloco (AB) mais as outras 4 pessoas. O número de formas de ordenar esses 5 objetos é
5!.
Mas dentro do bloco AB as duas pessoas podem trocar de ordem: podem aparecer como AB ou BA. Isso dá um fator de 2!. Portanto o total de ordenações em que A e B ficam juntos é
5!\cdot 2!.
Explicando cada termo: 5! conta posições do bloco entre as outras pessoas; 2! conta as duas permutações internas do bloco.

Passo 4

Calculemos numericamente 5! e 2!:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120, \qquad 2! = 2\cdot1 = 2.
Logo as ordenações com A e B juntos são
5!\cdot 2! = 120\cdot2 = 240.

Passo 5

Aplicando o complemento: o número de ordenações em que A e B NÃO ficam juntas é
6! - 5!\cdot 2!.
Substituindo os valores que calculamos:
720 - 240 = 480.

Passo 6

Verificação alternativa (checa mental e reforço do conceito): escolher duas cadeiras não adjacentes para A e B. Existem \binom{6}{2}=15 pares de cadeiras possíveis no total; dentre eles, 5 pares são adjacentes (cadeiras (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)), então restam 15-5=10 pares não adjacentes. Para cada escolha de posições não adjacentes, A e B podem ser permutados entre essas duas posições de 2! maneiras e os outros 4 ocupam as 4 cadeiras restantes em 4! maneiras. Isso dá
10\cdot 2!\cdot 4! = 10\cdot 2\cdot 24 = 480,
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Resumo do raciocínio final (para lembrar na prova): calculei o total 6!, calculei quantos têm A e B juntos usando o bloco (5!\cdot2!) e subtrai: 6!-5!\cdot2!=480. Respira, repassa esses passos e tá pronto pra marcar na prova!

Resposta

480

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