De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se em fila se duas pessoas específicas não podem ficar juntas?
Passo 1
O problema pede: de quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se em fila se duas pessoas específicas não podem ficar juntas?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
pessoas distintas para sentar numa fila (cadeiras em linha). - Duas pessoas específicas (chamo-as de
e ) não podem sentar-se juntas (isto é, não devem ocupar cadeiras adjacentes). - Deve-se contar todas as permutações possíveis respeitando essa restrição.
Passo 2
Primeiro calculemos o número total de maneiras de sentar
pessoas numa fila sem restrição.
Explicação da ideia: quando temos objetos distintos a ordenar em fila, o número de ordenações possíveis é o fatorial de
, escrito
, que é o produto dos inteiros de
até
. Ou seja,
Explicação da ideia: quando temos
Aplicando para
, o total de ordenações sem restrição é
Vamos calcular passo a passo:
Portanto o total sem restrição é
.
Passo 3
Agora vamos contar quantas ordenações violam a condição (ou seja, em quantas o par
e
aparecem juntos). Em seguida subtraímos desse total para obter os que respeitam a restrição. Essa é a estratégia do complemento.
Método do “bloco”: trate
e
juntos como um único bloco. Assim, em vez de
objetos, teremos
objetos: o bloco
mais as outras
pessoas. O número de formas de ordenar esses
objetos é
Mas dentro do bloco
as duas pessoas podem trocar de ordem: podem aparecer como
ou
. Isso dá um fator de
. Portanto o total de ordenações em que
e
ficam juntos é
Explicando cada termo:
conta posições do bloco entre as outras pessoas;
conta as duas permutações internas do bloco.
Passo 4
Calculemos numericamente
e
:
Logo as ordenações com
e
juntos são
Passo 5
Aplicando o complemento: o número de ordenações em que
e
NÃO ficam juntas é
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Verificação alternativa (checa mental e reforço do conceito): escolher duas cadeiras não adjacentes para
e
. Existem
pares de cadeiras possíveis no total; dentre eles,
pares são adjacentes (cadeiras
), então restam
pares não adjacentes. Para cada escolha de posições não adjacentes,
e
podem ser permutados entre essas duas posições de
maneiras e os outros
ocupam as
cadeiras restantes em
maneiras. Isso dá
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Resumo do raciocínio final (para lembrar na prova): calculei o total
, calculei quantos têm
e
juntos usando o bloco
e subtrai:
. Respira, repassa esses passos e tá pronto pra marcar na prova!