De quantas maneiras podemos escolher 4 números distintos dentre \{1,2, \ldots, 10\} de modo que não haja números consecutivos?

Passo 1

O enunciado pede: de quantas maneiras escolher 4 números distintos do conjunto \{1,2,\ldots,10\} de modo que não haja dois números consecutivos entre os escolhidos.
Informações fornecidas:
  • Conjunto disponível: \{1,2,\ldots,10\}.
  • Precisamos escolher exatamente 4 números distintos.
  • Condição obrigatória: não pode haver pares de números consecutivos entre os escolhidos (isto é, se x está escolhido, nem x+1 nem x-1 podem estar escolhidos).

Passo 2

Vamos ordenar os números escolhidos em ordem crescente e usar uma notação clara. Seja
x_1<x_2<x_3<x_4
os quatro números escolhidos (ordem crescente). A condição “não haver números consecutivos” significa que, para cada i,
x_{i+1}-x_i \ge 2.
Isso garante uma lacuna de pelo menos 1 entre quaisquer dois escolhidos.

Passo 3

Agora fazemos uma transformação padrão que simplifica a restrição. Defina novos inteiros
y_i = x_i - (i-1)\quad\text{para }i=1,2,3,4.
Explicando o motivo desta definição: ao subtrair (i-1) de x_i estamos “removendo” as lacunas mínimas necessárias entre elementos consecutivos, de modo que as desigualdades com diferença mínima 2 em x_i se transformam em desigualdades estritas de diferença mínima 1 para os y_i.

Passo 4

Vamos analisar que condições os y_i satisfazem.
  • Como x_1\ge 1 e y_1=x_1, temos y_1\ge 1.
  • A condição x_{i+1}-x_i\ge 2 implica
y_{i+1}-y_i = (x_{i+1}-(i)) - (x_i-(i-1)) = x_{i+1}-x_i-1 \ge 1,
ou seja, os y_i são estritamente crescentes com diferença ao menos 1. Portanto os y_i são simplesmente quatro inteiros distintos e crescentes.
  • Qual é o maior valor possível para y_4? Como x_4\le 10, temos
y_4 = x_4 - 3 \le 10-3 = 7.
Assim os y_i são quatro números distintos e crescentes escolhidos do conjunto \{1,2,\ldots,7\}.
Concluímos que existe uma bijeção entre escolhas válidas (x_1,x_2,x_3,x_4) e escolhas de quatro números distintos em \{1,\ldots,7\}. Logo contar as primeiras equivale a contar as segundas.

Passo 5

Contar de quantas maneiras escolher quatro números distintos em \{1,\ldots,7\} é um problema simples de combinação sem ordem. O número de escolhas é o coeficiente binomial
\binom{7}{4}.

Passo 6

Calculando o coeficiente binomial passo a passo:
\binom{7}{4}=\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} =\dfrac{7\cdot6\cdot5}{6} =7\cdot5=35.
(Verificação rápida por exemplo: a escolha x=(2,4,7,10) corresponde a y=(2,3,5,7), que é uma escolha válida em \{1,\ldots,7\}; isso ilustra a bijeção.)

Resposta

35

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