De quantas maneiras podemos escolher 4 números distintos dentre
de modo que não haja números consecutivos?
Passo 1
O enunciado pede: de quantas maneiras escolher 4 números distintos do conjunto
de modo que não haja dois números consecutivos entre os escolhidos.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Conjunto disponível:
. - Precisamos escolher exatamente
números distintos. - Condição obrigatória: não pode haver pares de números consecutivos entre os escolhidos (isto é, se
está escolhido, nem nem podem estar escolhidos).
Passo 2
Vamos ordenar os números escolhidos em ordem crescente e usar uma notação clara. Seja
os quatro números escolhidos (ordem crescente). A condição “não haver números consecutivos” significa que, para cada
,
Isso garante uma lacuna de pelo menos 1 entre quaisquer dois escolhidos.
Passo 3
Agora fazemos uma transformação padrão que simplifica a restrição. Defina novos inteiros
Explicando o motivo desta definição: ao subtrair
de
estamos “removendo” as lacunas mínimas necessárias entre elementos consecutivos, de modo que as desigualdades com diferença mínima 2 em
se transformam em desigualdades estritas de diferença mínima 1 para os
.
Passo 4
Vamos analisar que condições os
satisfazem.
- Como
e , temos . - A condição
implica
ou seja, os
são estritamente crescentes com diferença ao menos
. Portanto os
são simplesmente quatro inteiros distintos e crescentes.
- Qual é o maior valor possível para
? Como , temos
Assim os
são quatro números distintos e crescentes escolhidos do conjunto
.
Concluímos que existe uma bijeção entre escolhas válidas
e escolhas de quatro números distintos em
. Logo contar as primeiras equivale a contar as segundas.
Passo 5
Contar de quantas maneiras escolher quatro números distintos em
é um problema simples de combinação sem ordem. O número de escolhas é o coeficiente binomial
Passo 6
Calculando o coeficiente binomial passo a passo:
(Verificação rápida por exemplo: a escolha
corresponde a
, que é uma escolha válida em
; isso ilustra a bijeção.)
Resposta
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