Determine a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada de primeira ordem da função
Informações fornecidas:
- A função é
. - Observação sobre domínio: há uma raiz quadrada
e uma potência no denominador. Portanto a expressão original exige (para real) e (para não dividir por zero). Assim, trabalharemos em .
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão dividindo cada termo do numerador por
. Isso usa a propriedade das potências:
.
Agora escrevo cada potência com expoentes fracionários:
e
. Então
Calculo os expoentes:
Logo
Passo 3
Vou usar a regra da derivada de potência e a linearidade da derivada. Explicando a regra da potência de forma didática:
- Regra da potência: se
com real e , então
Aqui
é o expoente (um número),
é a variável, e
significa elevar
ao expoente
.
- Linearidade: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
Aplicando essas ideias é direto derivar cada termo de
.
Passo 4
Derivo termo a termo usando a regra da potência.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
:
Portanto, pela linearidade,
Passo 5
Simplifico a expressão para ficar mais legível. Como fator comum posso tirar
(o menor expoente):
Coloco na mesma fração dentro do parêntese com denominador
:
então
Posso reescrever
como
se preferir:
Passo 6
Comentário final sobre domínio da derivada: a expressão final usa potências de
com expoentes negativos, por isso está definida para
, que é justamente o domínio onde a função original é diferenciável. Portanto esta é a derivada válida para
.