Determine a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
v(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de primeira ordem da função
v(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle v(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}.
  • Observação sobre domínio: há uma raiz quadrada \sqrt{t} e uma potência t^{1/3} no denominador. Portanto a expressão original exige t\ge 0 (para \sqrt{t} real) e t\neq 0 (para não dividir por zero). Assim, trabalharemos em t>0.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão dividindo cada termo do numerador por t^{1/3}. Isso usa a propriedade das potências: \dfrac{t^a}{t^b}=t^{a-b}.
v(t)=\frac{t}{t^{\frac{1}{3}}}-\frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}.
Agora escrevo cada potência com expoentes fracionários: t=t^{1} e \sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}. Então
v(t)=t^{\,1-\frac{1}{3}}-t^{\,\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}.
Calculo os expoentes:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Logo
v(t)=t^{\frac{2}{3}}-t^{\frac{1}{6}}.

Passo 3

Vou usar a regra da derivada de potência e a linearidade da derivada. Explicando a regra da potência de forma didática:
  • Regra da potência: se f(t)=t^{n} com n real e t>0, então
f'(t)=n\,t^{n-1}.
Aqui n é o expoente (um número), t é a variável, e t^{n-1} significa elevar t ao expoente n-1.
  • Linearidade: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
\frac{d}{dt}\bigl( u(t)\pm w(t)\bigr)=u'(t)\pm w'(t).
Aplicando essas ideias é direto derivar cada termo de v(t)=t^{2/3}-t^{1/6}.

Passo 4

Derivo termo a termo usando a regra da potência.
Derivada do primeiro termo t^{\frac{2}{3}}:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{\frac{2}{3}}\bigr)=\frac{2}{3}\,t^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}.
Derivada do segundo termo t^{\frac{1}{6}}:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{\frac{1}{6}}\bigr)=\frac{1}{6}\,t^{\frac{1}{6}-1}=\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}.
Portanto, pela linearidade,
v'(t)=\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}.

Passo 5

Simplifico a expressão para ficar mais legível. Como fator comum posso tirar t^{-\frac{5}{6}} (o menor expoente):
v'(t)=t^{-\frac{5}{6}}\!\left(\frac{2}{3}\,t^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{6}\right).
Coloco na mesma fração dentro do parêntese com denominador 6:
\frac{2}{3}\,t^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{6}\,t^{\frac{1}{2}},
então
v'(t)=t^{-\frac{5}{6}}\cdot\frac{4t^{\frac{1}{2}}-1}{6}=\frac{4t^{\frac{1}{2}}-1}{6\,t^{\frac{5}{6}}}.
Posso reescrever t^{\frac{1}{2}} como \sqrt{t} se preferir:
v'(t)=\frac{4\sqrt{t}-1}{6\,t^{\frac{5}{6}}}.

Passo 6

Comentário final sobre domínio da derivada: a expressão final usa potências de t com expoentes negativos, por isso está definida para t>0, que é justamente o domínio onde a função original é diferenciável. Portanto esta é a derivada válida para t>0.

Resposta

v'(t)=\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{6}\,t^{-\frac{5}{6}}=\frac{4\sqrt{t}-1}{6\,t^{\frac{5}{6}}},\quad t>0.

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