De quantas maneiras podemos distribuir 30 laranjas para 4 crianças de modo que cada uma receba pelo menos 2 laranjas?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos distribuir 30 laranjas idênticas para 4 crianças, de modo que cada criança receba pelo menos 2 laranjas. O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras não negativas com restrição mínima em cada variável, usando o método de “stars and bars”.

Passo 2

Seja x_i o número de laranjas da i-ésima criança. Temos
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 30,
com a condição x_i \ge 2. Para eliminar a restrição mínima, definimos
y_i = x_i - 2,
de modo que y_i \ge 0 e
\sum_{i=1}^4 y_i = 30 - 2\cdot4 = 22.

Passo 3

O número de soluções inteiras não negativas da equação \sum_{i=1}^4 y_i = 22 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{22 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{25}{3}.

Passo 4

Bastando calcular:
\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2300.

Resposta

2300

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