De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Queremos distribuir 5 laranjas idênticas entre 2 caixas idênticas.
  • Condição: nenhuma caixa pode ficar vazia (cada caixa deve receber pelo menos uma laranja).
  • Pergunta: de quantas maneiras distintas isso pode ser feito, levando em conta que as laranjas são indistinguíveis entre si e as caixas também são indistinguíveis entre si.

Passo 2

Modelagem do problema com equações inteiras:
  • Se as caixas fossem numeradas (diferentes), a distribuição pode ser descrita por dois inteiros positivos x_1 e x_2 que satisfazem
x_1 + x_2 = 5,
com x_1\ge 1 e x_2\ge 1.
  • Aqui x_1 é o número de laranjas na caixa 1 e x_2 na caixa 2. Esta é a forma padrão de modelar “distribuir objetos idênticos entre recipientes” quando permitidos valores inteiros.

Passo 3

Contagem quando as caixas são distintas (ajuda didática):
  • Existe uma fórmula geral: o número de soluções em inteiros positivos de
x_1 + x_2 + \dots + x_k = n
é
\binom{n-1}{k-1}.
Explicando por que: é o clássico argumento “stars and bars” (esferas e separadores) — não vou alongar demais, mas a ideia é que entre as n esferas colocadas em fila há n-1 espaços onde se colocam k-1 separadores para formar k grupos positivos.
  • Aplicando com k=2 e n=5:
\binom{5-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4.
  • Podemos listar essas 4 soluções ordenadas (caixas distintas): (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Cada par soma 5 e tem ambas as entradas ≥ 1.

Passo 4

Ajuste para caixas idênticas (o ponto principal):
  • Como as caixas são idênticas, as distribuições que diferem apenas pela troca das caixas devem ser consideradas a mesma. Ou seja, (1,4) e (4,1) representam a mesma distribuição, e (2,3) e (3,2) também são a mesma.
  • Para evitar contar duas vezes, podemos forçar uma ordem (por exemplo x_1 \le x_2) e contar apenas pares não ordenados. Assim procuramos pares (a,b) com a+b=5, 1\le a\le b.
  • Para cada a inteiro de 1 até \left\lfloor \dfrac{5}{2}\right\rfloor existe um único par (a,5-a) com a\le 5-a. Aqui \left\lfloor \dfrac{5}{2}\right\rfloor = 2.

Passo 5

Listagem explícita das distribuições distintas:
  • Tomando a=1 temos o par (1,4) (que representa também (4,1)).
  • Tomando a=2 temos o par (2,3) (que representa também (3,2)).
  • Não há a=3 novo porque isso daria (3,2) já contado com a=2 se exigirmos a\le b.
  • Portanto as distribuições distintas são exatamente duas: uma caixa com 1 laranja e a outra com 4; ou uma com 2 e a outra com 3.

Passo 6

Observação geral rápida (fórmula útil para provas):
  • Para n laranjas em 2 caixas idênticas, não vazias, o número de distribuições distintas é \left\lfloor \dfrac{n}{2}\right\rfloor. No nosso caso \left\lfloor \dfrac{5}{2}\right\rfloor=2.

Resposta

2 maneiras

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