De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Queremos distribuir 5 laranjas idênticas entre 2 caixas idênticas.
- Condição: nenhuma caixa pode ficar vazia (cada caixa deve receber pelo menos uma laranja).
- Pergunta: de quantas maneiras distintas isso pode ser feito, levando em conta que as laranjas são indistinguíveis entre si e as caixas também são indistinguíveis entre si.
Passo 2
Modelagem do problema com equações inteiras:
- Se as caixas fossem numeradas (diferentes), a distribuição pode ser descrita por dois inteiros positivos
e que satisfazem
com
e
.
- Aqui
é o número de laranjas na caixa 1 e na caixa 2. Esta é a forma padrão de modelar “distribuir objetos idênticos entre recipientes” quando permitidos valores inteiros.
Passo 3
Contagem quando as caixas são distintas (ajuda didática):
- Existe uma fórmula geral: o número de soluções em inteiros positivos de
é
Explicando por que: é o clássico argumento “stars and bars” (esferas e separadores) — não vou alongar demais, mas a ideia é que entre as
esferas colocadas em fila há
espaços onde se colocam
separadores para formar
grupos positivos.
- Aplicando com
e :
- Podemos listar essas 4 soluções ordenadas (caixas distintas):
. Cada par soma 5 e tem ambas as entradas ≥ 1.
Passo 4
Ajuste para caixas idênticas (o ponto principal):
- Como as caixas são idênticas, as distribuições que diferem apenas pela troca das caixas devem ser consideradas a mesma. Ou seja,
e representam a mesma distribuição, e e também são a mesma. - Para evitar contar duas vezes, podemos forçar uma ordem (por exemplo
) e contar apenas pares não ordenados. Assim procuramos pares com , . - Para cada
inteiro de até existe um único par com . Aqui .
Passo 5
Listagem explícita das distribuições distintas:
- Tomando
temos o par (que representa também ). - Tomando
temos o par (que representa também ). - Não há
novo porque isso daria já contado com se exigirmos . - Portanto as distribuições distintas são exatamente duas: uma caixa com 1 laranja e a outra com 4; ou uma com 2 e a outra com 3.
Passo 6
Observação geral rápida (fórmula útil para provas):
- Para
laranjas em 2 caixas idênticas, não vazias, o número de distribuições distintas é . No nosso caso .
Resposta
2 maneiras