De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: contar de quantas maneiras é possível distribuir 6 laranjas idênticas em 2 caixas idênticas.
  • Informação importante: as laranjas são iguais entre si e as caixas também são iguais (não há rótulo “caixa A” e “caixa B”).
    Vou trabalhar com distribuições em que uma caixa pode ficar vazia (não foi proibido pelo enunciado).

Passo 2

Primeira ideia auxiliar (caixas distinguíveis): conte as distribuições quando as caixas fossem diferentes (caixa 1 e caixa 2).
Nesse caso precisamos contar soluções inteiras não negativas de
x_1+x_2=6,
onde x_1 é o número de laranjas na caixa 1 e x_2 na caixa 2. Uma maneira simples de ver isso é notar que x_1 pode ser qualquer número de 0 até 6. Logo há
6-0+1=7
soluções distintas. (Isto coincide com a fórmula de “stars and bars” para k=2: \dbinom{6+2-1}{2-1}=\dbinom{7}{1}=7.)

Passo 3

Liste explicitamente as 7 soluções para deixar claro:
(0,6),\\ (1,5),\\ (2,4),\\ (3,3),\\ (4,2),\\ (5,1),\\ (6,0).
Aqui cada par (a,b) representa a laranjas na caixa 1 e b na caixa 2.

Passo 4

Agora volte ao problema real: as caixas são idênticas. Isso significa que as distribuições (a,b) e (b,a) devem ser consideradas a mesma distribuição. Então precisamos contar pares não ordenados \{a,b\} com a+b=6.
Observe que, entre as 7 soluções listadas, cada par com a\neq b aparece duas vezes (uma como (a,b) e outra como (b,a)), enquanto a solução com a=b é autoespelhada e aparece uma só vez. No caso 6 inteiro, a solução autoespelhada é (3,3).

Passo 5

Contando de forma rápida: agrupe as 7 soluções em pares espelhados mais o caso central:
\{(0,6),(6,0)\},\\ \{(1,5),(5,1)\},\\ \{(2,4),(4,2)\},\\ \{(3,3)\}.
Isto dá exatamente 3 grupos de dois mais 1 grupo solitário, totalizando 3+1=4 distribuições distintas quando as caixas são idênticas.
Uma fórmula geral equivalente para n laranjas em 2 caixas idênticas é \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1. Para n=6 isso dá \left\lfloor\dfrac{6}{2}\right\rfloor+1=3+1=4.

Passo 6

Resumo didático curto do raciocínio para usar na prova:
  • Se as caixas fossem rotuladas, há n+1 soluções para x_1+x_2=n (pois x_1 pode valer 0,1,\dots,n).
  • Como as caixas são idênticas, pareie cada solução (a,b) com (b,a). Cada par distinto contribui com 1 solução não ordenada; o único caso que não se emparelha é quando a=b, isto é, quando n é par e a=b=n/2.
  • Portanto o número de distribuições é \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1. Aplicando para n=6 obtém-se 4.

Resposta

4

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