De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: contar de quantas maneiras é possível distribuir 6 laranjas idênticas em 2 caixas idênticas.
- Informação importante: as laranjas são iguais entre si e as caixas também são iguais (não há rótulo “caixa A” e “caixa B”).
Vou trabalhar com distribuições em que uma caixa pode ficar vazia (não foi proibido pelo enunciado).
Passo 2
Primeira ideia auxiliar (caixas distinguíveis): conte as distribuições quando as caixas fossem diferentes (caixa 1 e caixa 2).
Nesse caso precisamos contar soluções inteiras não negativas de
Nesse caso precisamos contar soluções inteiras não negativas de
onde
é o número de laranjas na caixa 1 e
na caixa 2. Uma maneira simples de ver isso é notar que
pode ser qualquer número de
até
. Logo há
soluções distintas. (Isto coincide com a fórmula de “stars and bars” para
:
.)
Passo 3
Liste explicitamente as 7 soluções para deixar claro:
Aqui cada par
representa
laranjas na caixa 1 e
na caixa 2.
Passo 4
Agora volte ao problema real: as caixas são idênticas. Isso significa que as distribuições
e
devem ser consideradas a mesma distribuição. Então precisamos contar pares não ordenados
com
.
Observe que, entre as 7 soluções listadas, cada par com
aparece duas vezes (uma como
e outra como
), enquanto a solução com
é autoespelhada e aparece uma só vez. No caso
inteiro, a solução autoespelhada é
.
Passo 5
Contando de forma rápida: agrupe as 7 soluções em pares espelhados mais o caso central:
Isto dá exatamente
grupos de dois mais
grupo solitário, totalizando
distribuições distintas quando as caixas são idênticas.
Uma fórmula geral equivalente para
laranjas em 2 caixas idênticas é
. Para
isso dá
.
Passo 6
Resumo didático curto do raciocínio para usar na prova:
- Se as caixas fossem rotuladas, há
soluções para (pois pode valer ). - Como as caixas são idênticas, pareie cada solução
com . Cada par distinto contribui com 1 solução não ordenada; o único caso que não se emparelha é quando , isto é, quando é par e . - Portanto o número de distribuições é
. Aplicando para obtém-se .