De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais?
Passo 1
O problema pede: contar de quantas maneiras podemos distribuir
laranjas idênticas em
caixas idênticas.
Informações do enunciado (assumidas e importantes):
Informações do enunciado (assumidas e importantes):
- As laranjas são indistinguíveis entre si (iguais).
- As caixas são indistinguíveis entre si (iguais).
- Pode haver caixa vazia (não foi proibido; assumimos que sim).
Passo 2
Primeira ideia útil (para aprender um método): conto mais fácil quando as caixas são distintas (rotuladas). Então considero soluções em inteiros não negativos de
onde
é o número de laranjas na caixa 1 e
na caixa 2. Vou explicar uma técnica básica chamada “stars and bars” (estrelas e barras): imagine
estrelas representando as laranjas e
barra para separar as duas caixas; cada disposição das estrelas e da barra corresponde a uma solução. O número de soluções em inteiros não negativos de
é
Isso significa que, se as caixas fossem diferentes, haveria
distribuições possíveis.
Passo 3
Vou listar as
soluções quando as caixas são distintas (peguei estes valores do passo anterior):
Cada par
indica
laranjas na caixa 1 e
na caixa 2.
Passo 4
Agora volto ao problema real: as caixas são idênticas, ou seja, as configurações que só diferem por permutar as caixas devem ser consideradas a mesma. Em termos das soluções listadas acima, pares como
e
representam a mesma distribuição quando as caixas são iguais. Em geral:
- Se existir uma solução com
(divisão exatamente igual), ela aparece apenas uma vez entre as configurações não rotuladas. - Se
, duas soluções rotuladas formam uma única solução não rotulada.
Para
(um número ímpar) não existe solução com
porque
implicaria
, o que não tem inteiro. Portanto todas as
soluções rotuladas se agrupam em pares, e o número de soluções com caixas idênticas é
Passo 5
Outra forma de ver (fórmula direta útil na hora da prova): o número de pares não ordenados
com
e
é igual ao número de possíveis valores de
com
. Isso dá
Posso também enumerar explicitamente as
distribuições distintas com caixas idênticas:
Elas representam, respectivamente: todas as 5 laranjas numa caixa e outra vazia; 4 numa e 1 na outra; 3 numa e 2 na outra.