De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais?

Passo 1

O problema pede: contar de quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas idênticas em 2 caixas idênticas.
Informações do enunciado (assumidas e importantes):
  • As laranjas são indistinguíveis entre si (iguais).
  • As caixas são indistinguíveis entre si (iguais).
  • Pode haver caixa vazia (não foi proibido; assumimos que sim).

Passo 2

Primeira ideia útil (para aprender um método): conto mais fácil quando as caixas são distintas (rotuladas). Então considero soluções em inteiros não negativos de
x_1+x_2=5,
onde x_1 é o número de laranjas na caixa 1 e x_2 na caixa 2. Vou explicar uma técnica básica chamada “stars and bars” (estrelas e barras): imagine 5 estrelas representando as laranjas e 1 barra para separar as duas caixas; cada disposição das estrelas e da barra corresponde a uma solução. O número de soluções em inteiros não negativos de x_1+x_2=5 é
\binom{5+2-1}{2-1}=\binom{6}{1}=6.
Isso significa que, se as caixas fossem diferentes, haveria 6 distribuições possíveis.

Passo 3

Vou listar as 6 soluções quando as caixas são distintas (peguei estes valores do passo anterior):
(0,5),\\ (1,4),\\ (2,3),\\ (3,2),\\ (4,1),\\ (5,0).
Cada par (a,b) indica a laranjas na caixa 1 e b na caixa 2.

Passo 4

Agora volto ao problema real: as caixas são idênticas, ou seja, as configurações que só diferem por permutar as caixas devem ser consideradas a mesma. Em termos das soluções listadas acima, pares como (1,4) e (4,1) representam a mesma distribuição quando as caixas são iguais. Em geral:
  • Se existir uma solução com x_1=x_2 (divisão exatamente igual), ela aparece apenas uma vez entre as configurações não rotuladas.
  • Se x_1\ne x_2, duas soluções rotuladas formam uma única solução não rotulada.
Para 5 (um número ímpar) não existe solução com x_1=x_2 porque x_1=x_2 implicaria 2x_1=5, o que não tem inteiro. Portanto todas as 6 soluções rotuladas se agrupam em pares, e o número de soluções com caixas idênticas é
\frac{6}{2}=3.

Passo 5

Outra forma de ver (fórmula direta útil na hora da prova): o número de pares não ordenados (a,b) com a\ge b\ge 0 e a+b=5 é igual ao número de possíveis valores de b com 0\le b\le\lfloor 5/2\rfloor. Isso dá
\lfloor 5/2\rfloor+1=2+1=3.
Posso também enumerar explicitamente as 3 distribuições distintas com caixas idênticas:
(5,0),\\ (4,1),\\ (3,2).
Elas representam, respectivamente: todas as 5 laranjas numa caixa e outra vazia; 4 numa e 1 na outra; 3 numa e 2 na outra.

Resposta

3

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