Quantas palavras binárias de comprimento menor ou igual a 6 existem?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas palavras binárias de comprimento menor ou igual a 6 existem?”
Informações dadas/assumidas claramente a partir do enunciado:
  • Alfabeto binário: as palavras são formadas pelos símbolos 0 e 1.
  • “Comprimento” significa o número de símbolos (bits) na palavra.
  • Os comprimentos possíveis são 0,1,2,3,4,5,6 (inclui a palavra vazia de comprimento 0).

Passo 2

Contar palavras de um comprimento fixo n.
Se uma palavra tem exatamente n posições (ou seja, comprimento n), cada posição pode ser preenchida com 0 ou 1. São 2 escolhas para cada posição, e as escolhas são independentes entre posições. Pelo princípio multiplicativo (produto de opções por posição), o número de palavras de comprimento n é
2^n.
Exemplos pequenos para fixar a intuição:
  • Para n=0 (palavra vazia) há exatamente 2^0=1 palavra.
  • Para n=1 2^1=2 palavras: 0 e 1.
  • Para n=2 2^2=4 palavras: 00,01,10,11.

Passo 3

Contar palavras de comprimento menor ou igual a 6.
Somando as quantidades para cada comprimento n=0,1,\dots,6 obtemos
\sum_{n=0}^{6} 2^n.
Essa soma é uma soma geométrica finita. Vamos usar a fórmula geral da soma geométrica: para r\neq 1 e inteiro m\ge 0,
\sum_{k=0}^{m} r^k = \frac{r^{m+1}-1}{r-1}.
Breve demonstração da fórmula (muito útil na prova): seja S=\sum_{k=0}^{m} r^k. Multiplicando por r rS=\sum_{k=0}^{m} r^{k+1}. Subtraindo S de rS cancela quase todos os termos, ficando rS-S = r^{m+1}-1. Fatorando, (r-1)S = r^{m+1}-1, daí S=(r^{m+1}-1)/(r-1).

Passo 4

Aplicar a fórmula com r=2 e m=6. Assim
\sum_{n=0}^{6} 2^n = \frac{2^{7}-1}{2-1} = 2^{7}-1.
Calcule 2^{7}: 2^{7}=128. Portanto
2^{7}-1 = 128-1 = 127.
Verificação direta (opcional): 1+2+4+8+16+32+64 = 127.

Passo 5

Interpretação final: existem 127 palavras binárias cujo comprimento é menor ou igual a 6, contando a palavra vazia. Se, por acaso, o enunciado não quisesse contar a palavra vazia, bastaria subtrair 1 e obter 126; mas a interpretação adotada aqui inclui o comprimento 0.

Resposta

127

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