Posso fazer uma viagem São Paulo-Rio de Janeiro, ida e volta, de avião, ônibus ou trem. De quantas maneiras posso viajar se não quero repetir na volta o meio de transporte utilizado na ida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar explicitamente o que foi dito):
  • Existem três meios de transporte possíveis: avião, ônibus e trem (ou seja, 3 opções).
  • A viagem é de ida e volta.
  • Restrição: no retorno não posso repetir o mesmo meio de transporte usado na ida.
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes posso organizar a viagem (ida + volta) respeitando a restrição acima?

Passo 2

Conceito que vou usar: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Ele diz o seguinte de forma bem direta: se uma ação pode ser feita de m maneiras e, para cada escolha dessa primeira ação, uma segunda ação pode ser feita de n maneiras independentes, então o número total de maneiras de realizar as duas ações em sequência é m\cdot n.
Explicando as letras: aqui a “primeira ação” é escolher o meio para a ida e a “segunda ação” é escolher o meio para a volta. Vou aplicar isso já já. É um método muito usado em provas porque transforma escolhas sequenciais em multiplicação.

Passo 3

Aplicação direta (método mais simples): escolha do meio na ida: há 3 opções. Após escolher a ida, para a volta eu não posso repetir o mesmo meio, então para a volta restam 2 opções. Pelo princípio da contagem o número total de viagens (ida seguida de volta) é
3\cdot 2.

Passo 4

Cálculo final do método direto:
3\cdot 2 = 6.
Portanto, pelo método direto obtemos 6 maneiras.

Passo 5

Método alternativo (complemento), só para reforçar a ideia e checar: conto todas as combinações sem restrição e subtraio as proibidas. Todas as combinações ordenadas ida-volta (permitindo repetição) são 3\cdot 3 = 9. Dessas, as proibidas são exatamente as 3 em que ida = volta (avião-avião, ônibus-ônibus, trem-trem). Então
9 - 3 = 6,
mesmo resultado — boa checagem!

Passo 6

Para ficar bem concreto, as 6 maneiras são (ida → volta):
  • avião → ônibus
  • avião → trem
  • ônibus → avião
  • ônibus → trem
  • trem → avião
  • trem → ônibus
Pode anotar essa técnica: em problemas de ida e volta com proibição de repetir, escolha para a ida e depois para a volta descontando a opção já usada. Isso costuma salvar tempo na prova. Força aí — você consegue!

Resposta

6 maneiras.

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