Quantas palavras binárias de comprimento 10 começam ou terminam com 1?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pergunta: quantas palavras binárias de comprimento 10 começam ou terminam com 1 (ou seja, começam com 1, ou terminam com 1, ou fazem as duas coisas)?
  • Informação dada: "palavra binária de comprimento 10" significa uma sequência de 10 bits onde cada bit pode ser 0 ou 1.
Isso é tudo que precisamos identificar antes de começar a contar.

Passo 2

Ideia geral de contagem (a ferramenta que vamos usar): contar conjuntos usando o princípio da adição com correção para interseção (princípio da inclusão-exclusão). Também é útil lembrar que, se em uma palavra binária alguns bits são fixos, os bits restantes são livres e cada bit livre tem 2 escolhas, então se há k bits livres existem 2^{k} palavras possíveis. Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Defino dois conjuntos para organizar o problema:
  • Seja A o conjunto das palavras binárias de comprimento 10 que começam com 1.
  • Seja B o conjunto das palavras binárias de comprimento 10 que terminam com 1.
Quero calcular |A\cup B|, o número de palavras que começam ou terminam com 1.

Passo 4

Conto |A|: se a palavra começa com 1, o primeiro bit está fixo como 1 e restam 9 bits livres. Cada bit livre tem 2 escolhas, então
|A| = 2^{9}.
Calculo o valor numérico: 2^{9} = 512.

Passo 5

Conto |B|: de modo análogo, se a palavra termina com 1 o último bit está fixo e restam 9 bits livres, então
|B| = 2^{9} = 512.

Passo 6

Conto a interseção |A\cap B|: são as palavras que começam E terminam com 1. Isso fixa o primeiro e o último bit (dois bits fixos), sobrando 8 bits livres. Logo
|A\cap B| = 2^{8}.
E numericamente 2^{8} = 256.

Passo 7

Aplico a fórmula da inclusão-exclusão para obter |A\cup B|:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Substituindo os valores:
|A\cup B| = 2^{9} + 2^{9} - 2^{8} = 512 + 512 - 256 = 768.
Uma maneira alternativa (checagem rápida): contar o complementar — palavras que NÃO começam nem terminam com 1 têm primeiro e último bit iguais a 0, restando 8 bits livres, ou seja 2^{8}=256 dessas; como há 2^{10}=1024 palavras no total, o número desejado é 2^{10}-2^{8}=1024-256=768, concordando com o cálculo anterior.

Passo 8

Resumo final rápido e um empurrãozinho de ânimo: a resposta é 768. Se quiser, a gente pode praticar variações (por exemplo: começam com dois 1s ou terminam com dois 1s) para fixar o método — tu tá indo bem, calma que dá tempo de aprender isso direito!

Resposta

768

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