Quantas passadas de um compactador tipo “sapo” ( peso =108,0 kg ; altura de queda =0,40 \mathrm{~m}; e \varphi=0,32 \mathrm{~m} ) serão necessárias para desenvolver uma energia de compactação igual à do ensaio Proctor Normal, se a compactação no campo for feita em camadas de 0,20 \mathrm{~m} de espessura?

Passo 1

O que o problema pede: determinar quantas passadas do compactador “sapo” são necessárias para que a energia de compactação aplicada por camada (de espessura 0,20\\ \mathrm{m}) seja igual à energia específica do ensaio Proctor Normal.
Dados fornecidos:
  • massa do compactador: m=108{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • altura de queda por passada: h=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da base do “sapo”: \varphi=0{,}32\\ \mathrm{m}.
  • espessura da camada no campo: t=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Observação necessária (não fornecida no enunciado): usar o valor padrão da energia específica do ensaio Proctor Normal. Vou usar o valor normalmente adotado na engenharia geotécnica:
  • energia do Proctor Normal por unidade de volume: E_{P}=5{,}92\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}} (isto é 592\\ \mathrm{kJ/m^{3}}).
    Se você usar outro valor tabulado em aula, basta substituir esse E_{P} na conta.

Passo 2

Calcular a energia mecânica entregue por uma passada (energia do impacto do “sapo”).
Conceito usado: a energia potencial gravitacional convertida em impacto por passada é E_{\text{golpe}}=m g h, onde
  • m é a massa do compactador ( \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a altura de queda ( \mathrm{m}).
Cálculo:
E_{\text{golpe}}=m g h = 108{,}0\cdot 9{,}81\cdot 0{,}40.
Vamos calcular passo a passo:
9{,}81\cdot 0{,}40 = 3{,}924,
E_{\text{golpe}} = 108{,}0\cdot 3{,}924 = 423{,}792\\ \mathrm{J}.
Portanto cada passada fornece E_{\text{golpe}}=423{,}792\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular o volume de solo atingido por uma passada (volume útil de compactação por passada).
Assumimos que a base do compactador é circular de diâmetro \varphi. A área da base é a área do círculo:
A=\frac{\pi\varphi^{2}}{4},
onde \varphi é o diâmetro.
Cálculo da área:
A=\frac{\pi(0{,}32)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0256\cdot \frac{1}{4}=\pi\cdot 0{,}0256\approx 0{,}0804248\\ \mathrm{m^{2}}.
(Observação: calculei \pi\cdot0{,}0256 porque (0{,}32)^{2}/4=0{,}0256.)
Volume compactado por passada (camada de espessura t):
V_{\text{passada}}=A\cdot t = 0{,}0804248\cdot 0{,}20 = 0{,}01608496\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Calcular a energia específica aplicada ao solo por cada passada (energia por unidade de volume).
Definição: energia específica por passada
E_{\text{v,pass}}=\frac{E_{\text{golpe}}}{V_{\text{passada}}}.
Substituindo os valores:
E_{\text{v,pass}}=\frac{423{,}792}{0{,}01608496}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Cálculo numérico:
E_{\text{v,pass}}\approx 26{,}346{,} \mathrm{J/m^{3}} \approx 2{,}63\times 10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
(Isto quer dizer que cada passada entrega cerca de 2{,}63\times10^{4}\\ \mathrm{J} para cada metro cúbico de solo daquela camada.)

Passo 5

Determinar o número de passadas necessárias para atingir a energia do Proctor Normal.
Queremos n tal que:
n\cdot E_{\text{v,pass}} = E_{P},
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n=\frac{E_{P}}{E_{\text{v,pass}}}.
Substituindo E_{P}=5{,}92\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}} e E_{\text{v,pass}}\approx 2{,}6346\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}:
n=\frac{5{,}92\times10^{5}}{2{,}6346\times10^{4}}\approx 22{,}48.
Como não é possível fazer uma fração de passada útil, e para garantir que se alcance pelo menos a energia do Proctor Normal, devemos arredondar para cima:
n=23\\ \text{passadas}.

Passo 6

Resumo e interpretação: cada passada do compactador entrega energia suficiente para compactar um volume de 0{,}016085\\ \mathrm{m^{3}}. Para equiparar a energia específica do ensaio Proctor Normal (adotado aqui como 5{,}92\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}), são necessárias aproximadamente 22{,}48 passadas, portanto recomenda-se 23 passadas por ponto para a camada de 0{,}20\\ \mathrm{m}.

Resposta

23 passadas

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