resolva o sistema de equacoes difereciais usando o método dos operadores diferenciais
\begin{aligned} & x^{\prime}+y^{\prime}+2 y=0 \\\ & x^{\prime}-3 x-2 y=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede resolver o seguinte sistema de equações diferenciais para x(t) e y(t):
\begin{aligned} & x^{\prime}+y^{\prime}+2 y=0,\\\ & x^{\prime}-3 x-2 y=0. \end{aligned}
Informações dadas:
  • As incógnitas são as funções x(t) e y(t).
  • Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
  • O sistema é linear com coeficientes constantes e envolve derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Vou reescrever o sistema usando o operador diferencial \,D=\dfrac{d}{dt}\,. Isso ajuda a ver o sistema como um sistema “algébrico” em operadores:
\begin{aligned} & D x + D y + 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad D x + (D+2)y = 0,\\[4pt] & D x - 3x - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad (D-3)x - 2y = 0. \end{aligned}
Essas duas formas são exatamente as equações originais, apenas escritas como combinações do operador D. A ideia do método dos operadores é manipular essas expressões para eliminar uma das incógnitas (aqui escolho eliminar x) e obter uma equação só em y.]

Passo 3

Eliminar x. Subtraio a segunda equação da primeira (como equações escalares, os lados direitos são zero), assim eliminamos D x:
\big(D x + (D+2)y\big) - \big((D-3)x -2y\big)=0-0 \quad\Rightarrow\quad y' +3x +4y = 0.
Reescrevendo em notação habitual:
y' + 3x + 4y = 0. \tag{A}
Da equação (A) isolamos x:
3x = -y' - 4y \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac{1}{3}y' - \tfrac{4}{3}y. \tag{B}
Agora uso (B) na segunda equação original x' -3x -2y = 0. Primeiro calcule x' derivando (B):
x' = -\tfrac{1}{3}y'' - \tfrac{4}{3}y'.
Substituo em x' -3x -2y = 0:
\big(-\tfrac{1}{3}y'' - \tfrac{4}{3}y'\big) - 3\big(-\tfrac{1}{3}y' - \tfrac{4}{3}y\big) - 2y = 0.
Agora simplifico passo a passo:
-\tfrac{1}{3}y'' - \tfrac{4}{3}y' + y' + 4y - 2y = 0.
Agrupando termos semelhantes:
-\tfrac{1}{3}y'' +\big(-\tfrac{4}{3}+1\big)y' + (4-2)y = 0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{3}y'' - \tfrac{1}{3}y' + 2y = 0.
Multiplicando por -3 para ficar mais limpo:
y'' + y' - 6y = 0.
Pronto: chegamos a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes para y(t).

Passo 4

Resolver a equação característica associada a \,y'' + y' - 6y = 0\,. Assumimos solução da forma y(t)=e^{rt}. A equação característica é
r^{2}+r-6=0.
Resolvo essa quadrática:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.
Logo as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-3. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral para y(t) é
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinariam-se por condições iniciais, se houvesse).

Passo 5

Agora recupero x(t) usando a relação obtida em (B):
x = -\tfrac{1}{3}y' - \tfrac{4}{3}y.
Calculo y'(t):
y'(t)=2C_{1}e^{2t}-3C_{2}e^{-3t}.
Substituo y e y' em (B):
\begin{aligned} x(t) &= -\tfrac{1}{3}\big(2C_{1}e^{2t}-3C_{2}e^{-3t}\big) - \tfrac{4}{3}\big(C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-3t}\big)\\[4pt] &= \Big(-\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{3}\Big)C_{1}e^{2t} + \Big(+1 - \tfrac{4}{3}\Big)C_{2}e^{-3t}\\[4pt] &= -2C_{1}e^{2t} - \tfrac{1}{3}C_{2}e^{-3t}. \end{aligned}
(Detalhe do cálculo dos coeficientes: para e^{2t} temos -\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{6}{3}=-2. Para e^{-3t} temos -\tfrac{1}{3}(-3C_{2}) deu +C_{2}, e então +C_{2}-\tfrac{4}{3}C_{2}=-\tfrac{1}{3}C_{2}.)]

Passo 6

Interpretação final: a solução geral do sistema é dada pelas funções x(t) e y(t) encontradas com duas constantes livres C_{1} e C_{2}. Se for necessário, pode-se checar substituindo essas x e y nas equações originais — elas satisfazem ambas.

Resposta

x(t)=-2C_{1}e^{2t}-\dfrac{1}{3}C_{2}e^{-3t}
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-3t}

Exercícios relacionados