Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
O sistema é linear com coeficientes constantes e envolve derivadas de primeira ordem.
Passo 2
Vou reescrever o sistema usando o operador diferencial \,D=\dfrac{d}{dt}\,. Isso ajuda a ver o sistema como um sistema “algébrico” em operadores:
\begin{aligned} & D x + D y + 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad D x + (D+2)y = 0,\\[4pt] & D x - 3x - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad (D-3)x - 2y = 0. \end{aligned}
Essas duas formas são exatamente as equações originais, apenas escritas como combinações do operador D. A ideia do método dos operadores é manipular essas expressões para eliminar uma das incógnitas (aqui escolho eliminar x) e obter uma equação só em y.]
Passo 3
Eliminar x. Subtraio a segunda equação da primeira (como equações escalares, os lados direitos são zero), assim eliminamos D x:
(Detalhe do cálculo dos coeficientes: para e^{2t} temos -\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{6}{3}=-2. Para e^{-3t} temos -\tfrac{1}{3}(-3C_{2}) deu +C_{2}, e então +C_{2}-\tfrac{4}{3}C_{2}=-\tfrac{1}{3}C_{2}.)]
Passo 6
Interpretação final: a solução geral do sistema é dada pelas funções x(t) e y(t) encontradas com duas constantes livres C_{1} e C_{2}. Se for necessário, pode-se checar substituindo essas x e y nas equações originais — elas satisfazem ambas.