Mostre que o método de multi-passo
resolve exatamente o problema de valor inicial:
Sugestão: Use a resposta exata para gerar os três passos iniciais de modo a aplicar o método.
Passo 1
O enunciado dá:
- O método multi-passo
- O problema de valor inicial
O que é pedido: mostrar que o método acima resolve exatamente o PVI quando os três passos iniciais são gerados pela solução exata sugerida. Em termos práticos, devemos:
- encontrar a solução exata
; - tomar nós uniformes
(com passo arbitrário ); - definir
para (essas são as três condições iniciais); - mostrar que, com essas três condições, a recorrência do método produz
para todo (isto é, a igualdade da sequência numérica com a solução exata em todos os nós).
Passo 2
Vamos achar a solução exata do PVI. Primeiro colocamos a EDO na forma linear padrão. A equação dada é
Reescrevendo,
Aqui a incógnita é
, a variável independente é
. Para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma
usa-se o fator integrante
. No nosso caso
, então o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
Passo 3
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
obtemos a solução geral
Impondo a condição inicial
temos
Logo a solução particular do PVI é
Passo 4
Agora vamos montar a sequência exata nos nós uniformes. Defina os nós
e tome como valores iniciais gerados pela solução exata:
Queremos provar que, com esses três valores iniciais, a recorrência
é satisfeita por
para todo
.
Passo 5
Verificação direta da recorrência. Escreva
para simplificar as contas; então
Calcule o lado direito da recorrência usando
:
Expandindo os quadrados:
Logo
Agora calcule o lado esquerdo usando
:
Comparando, vemos que
Portanto a identidade
é satisfeita por
para todo
(e para qualquer passo
).
Passo 6
Interpretação final e conclusão: a solução exata
produz valores nos nós
que satisfazem exatamente a recorrência multistep dada. Assim, se os três passos iniciais
são obtidos a partir da solução exata, o método reproduz exatamente
para todo
. Em outras palavras, o método resolve exatamente o PVI quando inicializado com os três valores exatos.
Resposta
Se
para
, então para todo
vale
ou seja, o método gera exatamente
para todo
.