Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números
Passo 1
O problema pede: “Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números
?”\n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado (retiradas diretamente do que foi dito):\n- Os números disponíveis são os inteiros
.\n- Cada peça de dominó tem duas metades, cada uma mostrando um desses números.\n- Peças como
e
são consideradas a mesma peça (a ordem não importa).\n- São permitidas peças duplas, ou seja, onde os dois números são iguais (por exemplo
).\n\nO que o enunciado quer: o número total de peças distintas possíveis com essas regras.
Passo 2
Vamos entender claramente o que é uma peça distinta: uma peça é determinada por um par de números sem ordem, isto é, por um conjunto
com
.\n\nAssim o problema se reduz a: contar todos os pares
com
e
inteiros entre
e
e com
.
Passo 3
Método direto por soma (contagem elemento a elemento): para cada valor de
fixo (onde
vai de
a
), quantas escolhas de
existem com
e
?\n\nPara um dado
existem
escolhas para
(porque
pode ser
).\n\nEntão o total de peças é a soma
Passo 4
Vamos calcular essa soma. Primeiro reescrevemos os termos em ordem crescente: para
o termo é
, para
é
, …, até
que dá
. Portanto
Isto é justamente a soma dos inteiros de
até
. Usamos a fórmula conhecida da soma dos
primeiros inteiros:
Aqui
. Logo
Passo 5
Método alternativo (duas partes: duplas + pares distintos) — para reforçar o entendimento:\n\n- Número de peças duplas (onde os dois números são iguais) = quantidade dos inteiros de
a
=
.\n- Número de peças com números diferentes: é o número de escolhas de dois elementos distintos entre
números, sem ordem, isto é
.\n\nSomando:
igual ao resultado anterior. Bom sinal: métodos diferentes concordam!
Passo 6
Verificação com exemplos pequenos para ganhar confiança:\n\n- Se
(números
), as peças possíveis são
, total
. A fórmula dá
.\n- Para o dominó clássico
(double-six), a fórmula dá
, que é o número conhecido de peças nesse jogo. Ótimo!
Passo 7
Interpretação final: a fórmula
cresce aproximadamente como
para
grande, o que faz sentido porque estamos escolhendo pares entre
opções.