Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números 0,1,2,3, \ldots, n ?

Passo 1

O problema pede: “Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números ...0,1,2,3,\ldots,n...?”\n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado (retiradas diretamente do que foi dito):\n- Os números disponíveis são os inteiros \,0,1,2,\dots,n.\n- Cada peça de dominó tem duas metades, cada uma mostrando um desses números.\n- Peças como \,1|2 e \,2|1 são consideradas a mesma peça (a ordem não importa).\n- São permitidas peças duplas, ou seja, onde os dois números são iguais (por exemplo \,3|3).\n\nO que o enunciado quer: o número total de peças distintas possíveis com essas regras.

Passo 2

Vamos entender claramente o que é uma peça distinta: uma peça é determinada por um par de números sem ordem, isto é, por um conjunto \{i,j\} com 0\le i\le j\le n.\n\nAssim o problema se reduz a: contar todos os pares \{i,j\} com i e j inteiros entre 0 e n e com i\le j.

Passo 3

Método direto por soma (contagem elemento a elemento): para cada valor de i fixo (onde i vai de 0 a n), quantas escolhas de j existem com j\ge i e j\le n?\n\nPara um dado i existem (n-i+1) escolhas para j (porque j pode ser i,i+1,\dots,n).\n\nEntão o total de peças é a soma
\sum_{i=0}^{n} (n-i+1).

Passo 4

Vamos calcular essa soma. Primeiro reescrevemos os termos em ordem crescente: para i=0 o termo é n+1, para i=1 é n, …, até i=n que dá 1. Portanto
\sum_{i=0}^{n} (n-i+1) = (n+1) + n + (n-1) + \cdots + 1.
Isto é justamente a soma dos inteiros de 1 até n+1. Usamos a fórmula conhecida da soma dos m primeiros inteiros:
\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}.
Aqui m=n+1. Logo
\sum_{i=0}^{n} (n-i+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Passo 5

Método alternativo (duas partes: duplas + pares distintos) — para reforçar o entendimento:\n\n- Número de peças duplas (onde os dois números são iguais) = quantidade dos inteiros de 0 a n = n+1.\n- Número de peças com números diferentes: é o número de escolhas de dois elementos distintos entre n+1 números, sem ordem, isto é \binom{n+1}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}.\n\nSomando:
(n+1) + \frac{(n+1)n}{2} = \frac{2(n+1) + (n+1)n}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2},
igual ao resultado anterior. Bom sinal: métodos diferentes concordam!

Passo 6

Verificação com exemplos pequenos para ganhar confiança:\n\n- Se n=1 (números \,0,1), as peças possíveis são \{0|0,0|1,1|1\}, total 3. A fórmula dá \dfrac{(1+1)(1+2)}{2}=\dfrac{2\cdot3}{2}=3.\n- Para o dominó clássico n=6 (double-six), a fórmula dá \dfrac{7\cdot8}{2}=28, que é o número conhecido de peças nesse jogo. Ótimo!

Passo 7

Interpretação final: a fórmula \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} cresce aproximadamente como n^2/2 para n grande, o que faz sentido porque estamos escolhendo pares entre (n+1) opções.

Resposta

\frac{(n+1)(n+2)}{2}

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