Uma urna contém m bolas numeradas de 1 até m ; r(r \leq m) bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for:
a) com reposição de cada bola após a extração?
b) sem reposição de cada bola após a extração?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
A urna contém m bolas, numeradas de 1 até m.
São feitas r extrações sucessivas, com r \leq m.
Perguntas:
(a) Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for com reposição de cada bola após a extração?
(b) Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for sem reposição de cada bola após a extração?
Passo 2
Conceito básico que vamos usar: regra do produto (princípio multiplicativo).
Explicação didática da regra do produto:
Se uma tarefa é feita em k etapas sequenciais e a etapa 1 pode ser feita de n_1 maneiras, a etapa 2 de n_2 maneiras (independente da escolha da etapa 1), …, a etapa k de n_k maneiras (independente das escolhas anteriores), então o número total de maneiras de realizar a tarefa completa é
n_1 \cdot n_2 \cdots n_k.
Intuição simples: imagine uma árvore onde cada nível corresponde a uma etapa; multiplicar os ramos de cada nível dá o total de folhas (sequências possíveis).
Vamos aplicar esse princípio às extrações.
Passo 3
Caso (a): extração com reposição.
Raciocínio passo a passo:
Após cada extração, a bola é reposta, então o número de possibilidades para cada extração é sempre o mesmo: m.
São feitas r extrações sequenciais. Pela regra do produto, o número total de sequências possíveis é
\underbrace{m \cdot m \cdot \dots \cdot m}_{r\\ \text{fatores}} = m^{r}.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se m=4 e r=3, cada extração tem 4 opções e o total é 4^3=64. Uma sequência possível é, por exemplo, (2,4,1); outra é (2,4,1) novamente em princípio só que aqui as reposições permitem repetições.
Passo 4
Caso (b): extração sem reposição.
Raciocínio passo a passo:
Agora, como não há reposição, as opções disponíveis diminuem a cada extração:
Na primeira extração há m possibilidades.
Depois de retirar uma bola, na segunda extração restam m-1 possibilidades.
Na terceira extração restam m-2 possibilidades, e assim por diante.
Aplicando a regra do produto para as r extrações:
m \cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdots (m-r+1).
Esta sequência de fatores tem r fatores (começando em m e diminuindo de 1 até m-r+1).
Passo 5
Expressão em termos de fatorial (fórmula compacta).
Lembrando a definição de fatorial: para inteiro não negativo n, n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1.
Essa quantidade também é conhecida como número de permutações de r objetos escolhidos entre m, denotada por P(m,r) ou _{m}P_{r}.
Passo 6
Notas úteis e casos limites (para usar na prova):
Se r=0 (nenhuma extração), pela convenção há exatamente 1 sequência (a sequência vazia): m^{0}=1 e \dfrac{m!}{(m-0)!}=1.
Se r=m no caso sem reposição, o número de sequências é m!, que é todas as ordenações das m bolas.
Sempre verifique a condição r \leq m quando aplicar a fórmula sem reposição; se r>m o número de sequências sem reposição é 0 (mas o enunciado já garante r \leq m).