Quantas permutações caóticas existem da palavra BANANA?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações da palavra “BANANA” em que nenhuma letra igual aparece adjacente. É um problema de permutações com repetição e restrição de não haver blocos formados por letras iguais; vamos usar contagem total e o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro o total de permutações sem nenhuma restrição. Há 6 letras sendo 3 A idênticas, 2 N idênticas e 1 B, logo
Passo 3
Seja
o conjunto de permutações com pelo menos uma ocorrência de “AA”. Para achar
calculamos o complementar: número de permutações em que não há nenhuma “AA”.
- Arrange as outras letras
: há maneiras. - Entre esses 3 símbolos criam-se 4 “vagas” onde inserir as 3 A, escolhendo 3 de 4 vagas:
.
Portanto sem “AA” há.
Logo
Passo 4
Seja
o conjunto de permutações com pelo menos uma ocorrência de “NN”. Analogamente, para não ter “NN”:
- Arrange as letras
: há maneiras. - Entre esses 4 símbolos há 5 vagas; escolhemos 2 para colocar os 2 N:
.
Logo sem “NN” háe
Passo 5
Agora
, ou seja, permutações que têm ao menos um “AA” e ao menos um “NN”. Dividimos em casos:
- Todas as 3 A juntas, formando “AAA”, e as 2 N juntas “NN”. Então temos os blocos
, que podem ser permutados em maneiras. - Exatamente um bloco “AA” mais um A isolado, e o bloco “NN”. Tratamos
como 4 objetos distintos, permutações, mas delas devemos excluir as que colocam e adjacentes (pois formariam “AAA”). Para isso, juntamos esses dois blocos como “superbloco” em duas ordens internas e permutamos com os outros dois objetos: . Logo nesse caso há .
Somando os casos
Passo 6
Pelo princípio da inclusão-exclusão, as permutações sem “AA” nem “NN” têm quantidade