Quantas permutações caóticas existem da palavra BANANA?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações da palavra “BANANA” em que nenhuma letra igual aparece adjacente. É um problema de permutações com repetição e restrição de não haver blocos formados por letras iguais; vamos usar contagem total e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro o total de permutações sem nenhuma restrição. Há 6 letras sendo 3 A idênticas, 2 N idênticas e 1 B, logo
\frac{6!}{3!\,2!\,1!} =\frac{720}{6\cdot2\cdot1} =60.

Passo 3

Seja E_{A} o conjunto de permutações com pelo menos uma ocorrência de “AA”. Para achar \lvert E_{A}\rvert calculamos o complementar: número de permutações em que não há nenhuma “AA”.
  1. Arrange as outras letras N,N,B: há \tfrac{3!}{2!}=3 maneiras.
  2. Entre esses 3 símbolos criam-se 4 “vagas” onde inserir as 3 A, escolhendo 3 de 4 vagas: \binom{4}{3}=4.
    Portanto sem “AA” há 3\times4=12.
    Logo
\lvert E_{A}\rvert =60-12 =48.

Passo 4

Seja E_{N} o conjunto de permutações com pelo menos uma ocorrência de “NN”. Analogamente, para não ter “NN”:
  1. Arrange as letras A,A,A,B: há \tfrac{4!}{3!}=4 maneiras.
  2. Entre esses 4 símbolos há 5 vagas; escolhemos 2 para colocar os 2 N: \binom{5}{2}=10.
    Logo sem “NN” há 4\times10=40 e
\lvert E_{N}\rvert =60-40 =20.

Passo 5

Agora \lvert E_{A}\cap E_{N}\rvert, ou seja, permutações que têm ao menos um “AA” e ao menos um “NN”. Dividimos em casos:
  1. Todas as 3 A juntas, formando “AAA”, e as 2 N juntas “NN”. Então temos os blocos \mathrm{[AAA]},\mathrm{[NN]},B, que podem ser permutados em 3!=6 maneiras.
  2. Exatamente um bloco “AA” mais um A isolado, e o bloco “NN”. Tratamos \mathrm{[AA]},A,\mathrm{[NN]},B como 4 objetos distintos, 4!=24 permutações, mas delas devemos excluir as que colocam \mathrm{[AA]} e A adjacentes (pois formariam “AAA”). Para isso, juntamos esses dois blocos como “superbloco” em duas ordens internas e permutamos com os outros dois objetos: 3!\times2=12. Logo nesse caso há 24-12=12.
Somando os casos
\lvert E_{A}\cap E_{N}\rvert =6+12 =18.

Passo 6

Pelo princípio da inclusão-exclusão, as permutações sem “AA” nem “NN” têm quantidade
60-\bigl(\lvert E_{A}\rvert+\lvert E_{N}\rvert-\lvert E_{A}\cap E_{N}\rvert\bigr) =60-(48+20-18) =10.

Resposta

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