Quantas permutações caóticas existem da palavra BRASIL?

Passo 1

O enunciado quer contar as permutações “caóticas” da palavra BRASIL, ou seja, todas as rearrumações de suas 6 letras em que nenhuma letra fica em sua posição original. Esse é um problema clássico de derangements (ou desalojamentos) em que temos n=6 objetos distintos e queremos permutações sem pontos fixos.

Passo 2

Pela inclusão–exclusão, o número de derangements de n objetos é
!n = n! \;-\;\binom{n}{1}(n-1)! \;+\;\binom{n}{2}(n-2)! \;-\;\binom{n}{3}(n-3)! \;+\;\cdots\;+\;(-1)^n\binom{n}{n}0!.

Passo 3

Aplicando para n=6, temos
!6 =6! -\binom{6}{1}5! +\binom{6}{2}4! -\binom{6}{3}3! +\binom{6}{4}2! -\binom{6}{5}1! +\binom{6}{6}0!.
Agora substituímos os valores:
6!=720,\quad \binom{6}{1}=6,\;\binom{6}{2}=15,\;\binom{6}{3}=20,\;\binom{6}{4}=15,\;\binom{6}{5}=6,\;\binom{6}{6}=1,
e
5!=120,\;4!=24,\;3!=6,\;2!=2,\;1!=1,\;0!=1.

Passo 4

Calculando cada termo:
720 - 6\cdot120 + 15\cdot24 - 20\cdot6 + 15\cdot2 - 6\cdot1 + 1\cdot1 =720 -720 +360 -120 +30 -6 +1 =265.

Resposta

O número de permutações caóticas da palavra BRASIL é 265.

Exercícios relacionados