Cinco pontos são tomados sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que há dois destes pontos cuja distância é menor ou igual a
\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado diz que temos cinco pontos quaisquer sobre um quadrado de lado 2 e pede para mostrar que sempre existem dois desses pontos cuja distância é menor ou igual a \sqrt{2}. O conteúdo que vamos usar é o Princípio da Casa dos Pombos aplicado a regiões geométricas.

Passo 2

Dividimos o quadrado de lado 2 em quatro quadrados congruentes, cada um de lado 1. Essa divisão pode ser feita traçando as medianas paralelas aos lados do quadrado maior, obtendo quatro subsquares de vértices alinhados e lados paralelos.

Passo 3

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao colocar 5 pontos em 4 subsquares, algum subsquare conterá pelo menos dois pontos. Vamos chamar esses dois pontos de A e B, ambos dentro do mesmo subsquare de lado 1.

Passo 4

A maior distância possível entre dois pontos num quadrado de lado 1 é dada pela diagonal desse quadrado. Essa diagonal vale \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Logo, a distância AB satisfaz
AB \le \sqrt{2}.

Resposta

Portanto, dentre os cinco pontos sempre existem dois cuja distância é menor ou igual a \sqrt{2}.

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