Cinco pontos são tomados sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que há dois destes pontos cuja distância é menor ou igual a
Passo 1
O enunciado diz que temos cinco pontos quaisquer sobre um quadrado de lado
e pede para mostrar que sempre existem dois desses pontos cuja distância é menor ou igual a
. O conteúdo que vamos usar é o Princípio da Casa dos Pombos aplicado a regiões geométricas.
Passo 2
Dividimos o quadrado de lado
em quatro quadrados congruentes, cada um de lado
. Essa divisão pode ser feita traçando as medianas paralelas aos lados do quadrado maior, obtendo quatro subsquares de vértices alinhados e lados paralelos.
Passo 3
Pelo Princípio da Casa dos Pombos, ao colocar
pontos em
subsquares, algum subsquare conterá pelo menos dois pontos. Vamos chamar esses dois pontos de
e
, ambos dentro do mesmo subsquare de lado
.
Passo 4
A maior distância possível entre dois pontos num quadrado de lado
é dada pela diagonal desse quadrado. Essa diagonal vale
Logo, a distância
satisfaz
Resposta
Portanto, dentre os cinco pontos sempre existem dois cuja distância é menor ou igual a
.