QUANTOS PLANOS FICAM UNICAMENTE DETERMINADO POR SEIS PONTOS NO ESPAÇO, SENDO QUE CINCO DESSES SÃO COPLANARES E NÃO HÁ TRÊS DESSE COLINEARES.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem seis pontos no espaço.
- Cinco desses seis pontos são coplanares (ou seja, todos cinco estão no mesmo plano).
- Não há três pontos colineares (ou seja, nenhuma tríade de pontos está sobre a mesma reta).
O que o enunciado pede:
- Determinar quantos planos distintos são unicamente determinados por esses seis pontos.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Três pontos não colineares determinam um único plano. Isso significa que qualquer tríade de pontos que não esteja toda numa mesma reta define exatamente um plano.
- Aqui, “não colinear” quer dizer que os três pontos não ficam alinhados numa mesma reta.
- Cinco pontos coplanares: qualquer tríade escolhida entre esses cinco ainda está no mesmo plano (porque já se sabe que os cinco estão no mesmo plano).
- Contagem combinatória básica: o número de maneiras de escolher
objetos dentre é . Por exemplo, o número de triângulos (tríades) possíveis entre cinco pontos é .
Passo 3
Contagem dos planos formados somente pelos cinco pontos coplanares:
- Existem
tríades distintas formadas apenas pelos cinco pontos coplanares. - Porém, todas essas
tríades estão contidas no mesmo plano (pois os cinco pontos são coplanares). - Portanto, todas essas tríades produzem apenas
plano distinto (o plano que contém os cinco pontos).
Passo 4
Contagem dos planos que envolvem o ponto isolado (o sexto ponto fora do plano dos cinco):
- Chame de
o ponto que não está no plano dos cinco. Para determinar um plano que contenha precisamos de mais dois pontos distintos além de . - Esses dois pontos devem ser escolhidos entre os cinco coplanares. O número de pares distintos dos cinco é
. - Cada par
dos cinco, junto com , forma uma tríade que determina um plano.
Passo 5
Justificativa de que cada uma dessas
tríades envolvendo
dá um plano diferente e que nenhum desses coincide com o plano dos cinco:
- Nenhum desses planos pode coincidir com o plano dos cinco, porque
não está nesse plano; se o plano determinado por fosse o mesmo que o dos cinco, isso colocaria no plano dos cinco, contradizendo a hipótese. - Duas tríades distintas
e (com pares diferentes ) não podem determinar o mesmo plano. Se determinassem o mesmo plano, então esse plano conteria ; mas então pelo menos quatro dos cinco pontos coplanares estariam no mesmo plano que , o que implicaria que estaria no plano dos cinco (contradição). Logo, cada par distinto dos cinco com gera um plano distinto. - Assim, temos exatamente
planos distintos que contêm e dois dos cinco coplanares.
Passo 6
Somando todas as possibilidades distintas:
- Planos vindos só dos cinco coplanares:
. - Planos formados por
mais dois dos cinco: . - Total de planos distintos determinados pelos seis pontos:
.
Resposta
11