QUANTOS PLANOS FICAM UNICAMENTE DETERMINADO POR SEIS PONTOS NO ESPAÇO, SENDO QUE CINCO DESSES SÃO COPLANARES E NÃO HÁ TRÊS DESSE COLINEARES.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem seis pontos no espaço.
  • Cinco desses seis pontos são coplanares (ou seja, todos cinco estão no mesmo plano).
  • Não há três pontos colineares (ou seja, nenhuma tríade de pontos está sobre a mesma reta).
O que o enunciado pede:
  • Determinar quantos planos distintos são unicamente determinados por esses seis pontos.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Três pontos não colineares determinam um único plano. Isso significa que qualquer tríade de pontos que não esteja toda numa mesma reta define exatamente um plano.
    • Aqui, “não colinear” quer dizer que os três pontos não ficam alinhados numa mesma reta.
  • Cinco pontos coplanares: qualquer tríade escolhida entre esses cinco ainda está no mesmo plano (porque já se sabe que os cinco estão no mesmo plano).
  • Contagem combinatória básica: o número de maneiras de escolher k objetos dentre n é \binom{n}{k}. Por exemplo, o número de triângulos (tríades) possíveis entre cinco pontos é \binom{5}{3}.

Passo 3

Contagem dos planos formados somente pelos cinco pontos coplanares:
  • Existem \binom{5}{3}=10 tríades distintas formadas apenas pelos cinco pontos coplanares.
  • Porém, todas essas \,10 tríades estão contidas no mesmo plano (pois os cinco pontos são coplanares).
  • Portanto, todas essas tríades produzem apenas 1 plano distinto (o plano que contém os cinco pontos).

Passo 4

Contagem dos planos que envolvem o ponto isolado (o sexto ponto fora do plano dos cinco):
  • Chame de F o ponto que não está no plano dos cinco. Para determinar um plano que contenha F precisamos de mais dois pontos distintos além de F.
  • Esses dois pontos devem ser escolhidos entre os cinco coplanares. O número de pares distintos dos cinco é \binom{5}{2}=10.
  • Cada par (P_i,P_j) dos cinco, junto com F, forma uma tríade \{F,P_i,P_j\} que determina um plano.

Passo 5

Justificativa de que cada uma dessas \,10 tríades envolvendo F dá um plano diferente e que nenhum desses coincide com o plano dos cinco:
  • Nenhum desses planos pode coincidir com o plano dos cinco, porque F não está nesse plano; se o plano determinado por \{F,P_i,P_j\} fosse o mesmo que o dos cinco, isso colocaria F no plano dos cinco, contradizendo a hipótese.
  • Duas tríades distintas \{F,P_i,P_j\} e \{F,P_k,P_\ell\} (com pares diferentes \{P_i,P_j\}\neq\{P_k,P_\ell\}) não podem determinar o mesmo plano. Se determinassem o mesmo plano, então esse plano conteria F,P_i,P_j,P_k,P_\ell; mas então pelo menos quatro dos cinco pontos coplanares estariam no mesmo plano que F, o que implicaria que F estaria no plano dos cinco (contradição). Logo, cada par distinto dos cinco com F gera um plano distinto.
  • Assim, temos exatamente \,10 planos distintos que contêm F e dois dos cinco coplanares.

Passo 6

Somando todas as possibilidades distintas:
  • Planos vindos só dos cinco coplanares: 1.
  • Planos formados por F mais dois dos cinco: 10.
  • Total de planos distintos determinados pelos seis pontos: 1+10=11.

Resposta

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