Quantas são as sequências de
termos, todos pertencentes a
, que possuem em número ímpar de termos iguais a 0 ?
Passo 1
O enunciado pede o número de sequências de comprimento
cujos termos são escolhidos em
de modo que a quantidade de zeros seja ímpar. Para resolver isso, vamos usar o princípio fundamental da contagem combinado com a expansão binomial.
Passo 2
Seja
o número de zeros na sequência.
- Escolhemos as posições dos
zeros de de maneiras. - Nas outras
posições, cada termo pode ser ou , totalizando atribuições.
Portanto, o total de sequências com exatamentezeros é
Como queremos
ímpar, o total desejado é
Passo 3
Para calcular essa soma de forma fechada, usamos duas identidades da expansão binomial:
Seja
Note que
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