Sheila e Helena disputam uma série de partidas. Cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior. Em cada partida, quem iniciou tem probabilidade 0,6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la. Se Helena iniciou a primeira partida, qual é a probabilidade de Sheila ganhar a
-ésima partida?
Passo 1
O enunciado descreve uma sequência de partidas entre Sheila e Helena em que quem venceu abre a próxima partida. Quem abre tem probabilidade
de ganhar e
de perder. Helena abre a partida 1. Queremos a probabilidade de Sheila ganhar a partida
. Vamos modelar isso como uma cadeia de Markov em que o estado é “quem abre” a partida.
Passo 2
Defina para cada
:
– probabilidade de Sheila abrir a partida
.
– probabilidade de Helena abrir a partida
.
Como exatamente um abre, . Inicialmente, como Helena abre a partida 1, temos
–
–
Como exatamente um abre,
Passo 3
A probabilidade de Sheila ganhar a partida
é
Como quem ganha abre a próxima, a probabilidade de Sheila abrir a partida
é justamente
. Logo, para
,
com
.
Passo 4
A recorrência
é uma equação afim de razão
e termo constante
. A solução geral, dada
, é
Passo 5
Como
, substituímos
na fórmula de
: