Quantas são as sequências de n termos, todos pertencentes a \{0,1,2\}, que possuem em número ímpar de termos iguais a 0 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de sequências de comprimento n cujos termos são escolhidos em \{0,1,2\} de modo que a quantidade de zeros seja ímpar. Para resolver isso, vamos usar o princípio fundamental da contagem combinado com a expansão binomial.

Passo 2

Seja k o número de zeros na sequência.
  • Escolhemos as posições dos k zeros de \{1,2,\dots,n\} de \binom{n}{k} maneiras.
  • Nas outras n-k posições, cada termo pode ser 1 ou 2, totalizando 2^{\,n-k} atribuições.
    Portanto, o total de sequências com exatamente k zeros é
\binom{n}{k} \,2^{\,n-k}.
Como queremos k ímpar, o total desejado é
\sum_{\substack{k=0 \\\ k\text{ ímpar}}}^{n} \binom{n}{k}2^{\,n-k}.í

Passo 3

Para calcular essa soma de forma fechada, usamos duas identidades da expansão binomial:
(2+1)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k},
(2-1)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}2^{\,n-k}.
Seja
S_{\text{total}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k}=3^n,
S_{\text{alt}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}2^{\,n-k}=1^n=1.
Note que
S_{\text{total}}-S_{\text{alt}} =\sum_{k=0}^{n}\bigl[1-(-1)^{k}\bigr]\binom{n}{k}2^{\,n-k} =2\sum_{\substack{k=0 \\\ k\text{ ímpar}}}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k}.í
Logo,
\sum_{\substack{k=0 \\\ k\text{ ímpar}}}^{n}\binom{n}{k}2^{\,n-k} =\frac{3^n-1}{2}.í

Resposta

\displaystyle \frac{3^n-1}{2}

Exercícios relacionados