Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que \cos ^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1, para todo x \in \mathbb{R} e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas:
\quad \cos ^{2}(x)=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\cos^{2}(x)=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}
sabendo que está válida a identidade pitagórica
\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1
e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas (ou seja, \operatorname{tg}(x) está definida). Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido:
  • Dado: \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1.
  • Pedido: demonstrar que \cos^{2}(x)=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}.
  • Informação de domínio que usamos: \operatorname{tg}(x) está definida, o que implica \cos(x)\neq0 (podemos dividir por \cos^{2}(x)).

Passo 2

Lembrete e definição útil: a tangente é definida por
\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)},
desde que \cos(x)\neq0. Aqui cada símbolo significa:
  • \operatorname{sen}(x) é o seno de x;
  • \cos(x) é o cosseno de x;
  • \operatorname{tg}(x) é a tangente de x.
    Também usemos a notação quadrada: \operatorname{tg}^{2}(x)=\big(\operatorname{tg}(x)\big)^{2}, etc.

Passo 3

Vamos partir da identidade pitagórica e dividir ambos os termos por \cos^{2}(x). Como assumimos que \cos(x)\neq0, essa divisão é permitida. Fazendo isso obtemos:
\frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}+\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
Agora simplificamos cada fração:
1+\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\right)^{2}=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.

Passo 4

Usando a definição de tangente da Passo 2, substituímos \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} por \operatorname{tg}(x) na igualdade do Passo 3. Assim chegamos à igualdade intermediária
1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
Como ambos os lados são estritamente positivos (porque \cos^{2}(x)>0 quando \cos(x)\neq0), podemos tomar o recíproco de ambos os membros sem alterar a equivalência. Tomando recíproco obtemos a identidade desejada (a escrita final ficará somente na seção de resposta).

Passo 5

Checagem numérica rápida para ganhar confiança (exemplo prático): tome x=\tfrac{\pi}{6}.
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}.
\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad 1+\operatorname{tg}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3},
e então
\frac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{4/3}=\frac{3}{4},
que coincide com \cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right). Bom sinal de que a dedução algébrica está correta.

Resposta

\cos^{2}(x)=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}

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