Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que
, para todo
e supondo que
pertence ao domínio das funções envolvidas:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
sabendo que está válida a identidade pitagórica
e supondo que
pertence ao domínio das funções envolvidas (ou seja,
está definida). Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido:
- Dado:
. - Pedido: demonstrar que
. - Informação de domínio que usamos:
está definida, o que implica (podemos dividir por ).
Passo 2
Lembrete e definição útil: a tangente é definida por
desde que
. Aqui cada símbolo significa:
-
é o seno de ; -
é o cosseno de ; -
é a tangente de .
Também usemos a notação quadrada:, etc.
Passo 3
Vamos partir da identidade pitagórica e dividir ambos os termos por
. Como assumimos que
, essa divisão é permitida. Fazendo isso obtemos:
Agora simplificamos cada fração:
Passo 4
Usando a definição de tangente da Passo 2, substituímos
por
na igualdade do Passo 3. Assim chegamos à igualdade intermediária
Como ambos os lados são estritamente positivos (porque
quando
), podemos tomar o recíproco de ambos os membros sem alterar a equivalência. Tomando recíproco obtemos a identidade desejada (a escrita final ficará somente na seção de resposta).
Passo 5
Checagem numérica rápida para ganhar confiança (exemplo prático): tome
.
e então
que coincide com
. Bom sinal de que a dedução algébrica está correta.