Quantas são as soluçoes inteiros não-negativas de x+y+z= 12 nas quais pelo menos uma incógnita é maior que 7?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o número de soluções inteiras não-negativas da equação $ x + y + z = 12 $ onde pelo menos uma das incógnitas é maior que 7. Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente o método das combinações com repetição, também conhecido como “estrelas e barras”.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas soluções existem para a equação $ x + y + z = 12 $ sem nenhuma restrição. Nesse caso, estamos distribuindo 12 unidades entre 3 variáveis, o que pode ser calculado usando a fórmula de combinações com repetição:
x + y + z = 12 úçõ
Onde $ C(n, k) $ representa o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.

Passo 3

Calculando $ C(14, 2) $:
C(14, 2)
Então, existem 91 soluções no total sem restrições.

Passo 4

Agora, queremos saber quantas dessas soluções têm pelo menos uma variável maior que 7. Para isso, é mais fácil calcular o número de soluções onde nenhuma variável é maior que 7 e então subtrair esse valor do total.

Passo 5

Vamos encontrar o número de soluções onde $ x \leq 7 $, $ y \leq 7 $ e $ z \leq 7 $. Para isso, fazemos uma substituição para reduzir o problema:
x <= 7
Dessa forma, a nova equação fica:
y <= 7
Agora, queremos soluções para $ x’ + y’ + z’ = 9 $ com $ x’, y’, z’ \geq 0 $.

Passo 6

Usando novamente a fórmula de combinações com repetição:
C(9 + 3 - 1, 3 - 1) = C(11, 2) = 11 times 102 times 1 = 55
Então, há 55 soluções onde nenhuma das variáveis é maior que 7.

Passo 7

Finalmente, para encontrar o número de soluções onde pelo menos uma variável é maior que 7, subtraímos as soluções onde nenhuma é maior que 7 do total:
Soluções com pelo menos uma variável > 7 = 91 - 55 = 36 çõá

Resposta

Existem 36 soluções inteiras não-negativas de $ x + y + z = 12 $ nas quais pelo menos uma das incógnitas é maior que 7.

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