Quantas são as soluçoes inteiros não-negativas de
nas quais pelo menos uma incógnita é maior que 7?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o número de soluções inteiras não-negativas da equação $ x + y + z = 12 $ onde pelo menos uma das incógnitas é maior que 7. Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente o método das combinações com repetição, também conhecido como “estrelas e barras”.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantas soluções existem para a equação $ x + y + z = 12 $ sem nenhuma restrição. Nesse caso, estamos distribuindo 12 unidades entre 3 variáveis, o que pode ser calculado usando a fórmula de combinações com repetição:
Onde $ C(n, k) $ representa o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
Passo 3
Calculando $ C(14, 2) $:
Então, existem 91 soluções no total sem restrições.
Passo 4
Agora, queremos saber quantas dessas soluções têm pelo menos uma variável maior que 7. Para isso, é mais fácil calcular o número de soluções onde nenhuma variável é maior que 7 e então subtrair esse valor do total.
Passo 5
Vamos encontrar o número de soluções onde $ x \leq 7 $, $ y \leq 7 $ e $ z \leq 7 $. Para isso, fazemos uma substituição para reduzir o problema:
Dessa forma, a nova equação fica:
Agora, queremos soluções para $ x’ + y’ + z’ = 9 $ com $ x’, y’, z’ \geq 0 $.
Passo 6
Usando novamente a fórmula de combinações com repetição:
Então, há 55 soluções onde nenhuma das variáveis é maior que 7.
Passo 7
Finalmente, para encontrar o número de soluções onde pelo menos uma variável é maior que 7, subtraímos as soluções onde nenhuma é maior que 7 do total:
Resposta
Existem 36 soluções inteiras não-negativas de $ x + y + z = 12 $ nas quais pelo menos uma das incógnitas é maior que 7.