Quantos inteiros entre
e 1000000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta: Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos? Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente conceitos de contagem e teoria dos números. Precisamos identificar quantos números são quadrados perfeitos, cubos perfeitos e aqueles que são ambos, para depois fazer as contas e descobrir quantos não entram em nenhuma dessas categorias.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantos números entre 1 e 1.000.000 são quadrados perfeitos. Um quadrado perfeito é um número que pode ser escrito como algum número inteiro elevado ao quadrado. Por exemplo,
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Para encontrar isso, a gente pega a raiz quadrada de 1.000.000:
Então, existem 1000 quadrados perfeitos entre 1 e 1.000.000.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos números são cubos perfeitos no mesmo intervalo. Um cubo perfeito é um número que pode ser escrito como um número inteiro elevado ao cubo, como
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Para isso, calculamos a raiz cúbica de 1.000.000:
Portanto, há 100 cubos perfeitos entre 1 e 1.000.000.
Passo 4
Mas atenção! Alguns números são tanto quadrados perfeitos quanto cubos perfeitos. Esses números são chamados de sextos perfeitos, pois podem ser expressos como um número inteiro elevado à sexta potência, por exemplo,
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Vamos descobrir quantos sextos perfeitos existem entre 1 e 1.000.000 calculando:
Então, temos 10 sextos perfeitos nesse intervalo.
Passo 5
Agora, para saber quantos números são quadrados perfeitos ou cubos perfeitos, usamos o princípio da inclusão-exclusão. Isso significa que somamos os quadrados perfeitos e os cubos perfeitos e subtraímos os sextos perfeitos (para não contar duas vezes):
Então, 1090 números são ou quadrados perfeitos ou cubos perfeitos.
Passo 6
Por fim, para achar quantos números não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos, subtraímos esse total do número total de inteiros no intervalo:
Resposta
998.910 inteiros entre 1 e 1.000.000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos.