De quantas maneiras 12 livros idênticos de matemática podem ser distribuídos entre os estudantes Ana, Beth, Carla e Daniela?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 12 livros idênticos entre quatro estudantes (Ana, Beth, Carla e Daniela). Esse tipo de problema envolve contar soluções inteiras não negativas de uma soma, e usamos para isso o princípio de “estrelas e barras”.

Passo 2

Atribuímos variáveis para o número de livros que cada aluna recebe:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12,
onde x_{i}\ge0 é a quantidade de livros dada à i-ésima estudante.

Passo 3

Pelo princípio de “estrelas e barras”, o número de soluções não negativas de
x_{1}+\cdots+x_{k}=n
é dado por
\binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 4

Aqui temos n=12 e k=4, então
\binom{12+4-1}{4-1} =\binom{15}{3} =\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1} =455.

Resposta

455

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