Quantas vezes 17^{2} deve aparecer dentro do radicando na igualdade \sqrt{17^{2}+17^{2}+\cdots+17^{2}}=17^{2}+17^{2}+ 17^{2} para que ela seja verdadeira?
A) 9
B) 51
C) 289
D) 861
E) 2601

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado mostra a igualdade \sqrt{17^{2}+17^{2}+\cdots+17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}.
  • O lado direito é a soma de três termos iguais, portanto vale \,3\cdot 17^{2}.
  • A pergunta: “Quantas vezes \,17^{2}\, deve aparecer dentro do radicando para que a igualdade seja verdadeira?” Ou seja, determinar um número inteiro n tal que, se 17^{2} aparece n vezes dentro da raiz, a igualdade seja satisfeita.

Passo 2

Escrevemos o radicando como repetição de 17^{2}. Se 17^{2} aparece n vezes, então
17^{2}+17^{2}+\cdots+17^{2}=n\cdot 17^{2}.
Substituindo na igualdade do enunciado, obtemos a equação
\sqrt{n\cdot 17^{2}}=3\cdot 17^{2}.

Passo 3

Usamos a propriedade da raiz quadrada para produtos (válida para números não negativos):
\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.
Aplicando com a=n e b=17^{2},
\sqrt{n\cdot 17^{2}}=\sqrt{n}\cdot\sqrt{17^{2}}.
Como 17>0, tem-se \sqrt{17^{2}}=17. Logo a equação fica
\sqrt{n}\cdot 17 = 3\cdot 17^{2}.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por 17 (operações válidas porque 17\neq0):
\sqrt{n}=3\cdot 17.
Calculando o produto à direita,
\sqrt{n}=51.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado ambos os lados para encontrar n:
n=51^{2}.
Calculando 51^{2} de forma explícita (por exemplo usando (50+1)^{2}):
51^{2}=50^{2}+2\cdot50\cdot1+1^{2}=2500+100+1=2601.

Passo 6

Verificação rápida: se n=2601 então o radicando vale 2601\cdot17^{2}=(51^{2})(17^{2}) e a raiz é 51\cdot17=867. O lado direito 3\cdot17^{2}=3\cdot289=867. Portanto a igualdade é satisfeita.

Resposta

E) 2601

Exercícios relacionados