Quantas vezes
deve aparecer dentro do radicando na igualdade
para que ela seja verdadeira?
A) 9
B) 51
C) 289
D) 861
E) 2601
A) 9
B) 51
C) 289
D) 861
E) 2601
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado mostra a igualdade
. - O lado direito é a soma de três termos iguais, portanto vale
. - A pergunta: “Quantas vezes
deve aparecer dentro do radicando para que a igualdade seja verdadeira?” Ou seja, determinar um número inteiro tal que, se aparece vezes dentro da raiz, a igualdade seja satisfeita.
Passo 2
Escrevemos o radicando como repetição de
. Se
aparece
vezes, então
Substituindo na igualdade do enunciado, obtemos a equação
Passo 3
Usamos a propriedade da raiz quadrada para produtos (válida para números não negativos):
Aplicando com
e
,
Como
, tem-se
. Logo a equação fica
Passo 4
Dividimos ambos os lados por
(operações válidas porque
):
Calculando o produto à direita,
Passo 5
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados para encontrar
:
Calculando
de forma explícita (por exemplo usando
):
Passo 6
Verificação rápida: se
então o radicando vale
e a raiz é
. O lado direito
. Portanto a igualdade é satisfeita.
Resposta
E)