Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal *. Ela funciona assim:
a * b=(a+1) \times(b-1)
Por exemplo, 3 * 5=(3+1) \times(5-1)=16. Se a e b são inteiros positivos tais que a * b=24 e b * a=30, quanto vale a+b ?
A) 11
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18

Passo 1

O enunciado dá a definição da operação nova entre inteiros:
a * b = (a+1)\times(b-1).
As informações concretas são:
  • \,a e \,b são inteiros positivos.
  • \,a * b = 24.
  • \,b * a = 30.
O que o problema pede:
  • Encontrar o valor de \,a+b (e indicar a alternativa correta entre A) 11, B) 12, C) 15, D) 16, E) 18).

Passo 2

Vamos escrever as duas igualdades usando a definição da operação, transformando o enunciado em um sistema algébrico. Usando \,a * b=(a+1)(b-1) e \,b * a=(b+1)(a-1), temos:
(a+1)(b-1)=24
(b+1)(a-1)=30
Agora vamos expandir cada produto para ficar com expressões em termos de ab, a e b. Isso ajuda a manipular e eliminar termos.

Passo 3

Expandindo as duas expressões:
Para a primeira:
(a+1)(b-1)=ab - a + b - 1=24,
ou seja
ab - a + b - 1 = 24 \quad\Rightarrow\quad ab - a + b = 25.
Para a segunda:
(b+1)(a-1)=ab - b + a - 1=30,
ou seja
ab - b + a - 1 = 30 \quad\Rightarrow\quad ab + a - b = 31.
Agora temos o sistema mais simples:
\begin{cases} ab - a + b = 25,\\[4pt] ab + a - b = 31. \end{cases}]

Passo 4

Para eliminar ab e achar uma relação simples entre a e b, subtraímos a primeira equação da segunda. Isso é uma técnica padrão: subtração de equações elimina termos comuns.
Subtraindo:
\bigl(ab + a - b\bigr) - \bigl(ab - a + b\bigr) = 31 - 25.
No lado esquerdo os ab se cancelam e obtemos:
a - b -(-a + b) = 6.
Calculando o lado esquerdo:
a - b + a - b = 2a - 2b = 6.
Dividindo por 2:
a - b = 3.
Portanto temos a relação simples
a = b + 3.

Passo 5

Agora substituímos \,a=b+3 em uma das equações reduzidas (vou usar ab - a + b = 25) para obter uma equação só em \,b. Substituição é a técnica de resolver sistemas quando uma variável já foi isolada.
Substituindo:
(b+3)\,b - (b+3) + b = 25.
Expandindo termo a termo:
b^2 + 3b - b - 3 + b = 25.
Agrupando termos iguais ( 3b - b + b = 3b):
b^2 + 3b - 3 = 25.
Passando 25 para o lado esquerdo:
b^2 + 3b - 28 = 0.

Passo 6

Temos uma equação quadrática em \,b:
b^2 + 3b - 28 = 0.
Explico rapidamente como resolver: uma técnica comum é tentar fatorar em dois binômios inteiros, isto é, procurar números p e q tais que p+q=3 e p\cdot q=-28. Procurando pares de divisores de 28:
  • 7 e -4 dão 7+(-4)=3 e 7\cdot(-4)=-28. Ótimo, fatorou.
    Logo:
b^2 + 3b - 28 = (b+7)(b-4)=0.
As soluções são
b = -7 \quad\text{ou}\quad b = 4.
Mas o enunciado exige \,b inteiro positivo, então descartamos \,b=-7 e ficamos com
b=4.

Passo 7

Com \,b=4 e a relação \,a=b+3, obtemos:
a = 4 + 3 = 7.
Vamos verificar rapidamente nas duas definições originais para garantir que não houve erro:
a*b=(7+1)(4-1)=8\cdot3=24\quad\checkmark
b*a=(4+1)(7-1)=5\cdot6=30\quad\checkmark
Tudo confere.

Passo 8

Portanto:
a+b = 7 + 4 = 11.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa A).

Resposta

A) 11

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