Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal *. Ela funciona assim:
Por exemplo,
. Se
e
são inteiros positivos tais que
e
, quanto vale
?
A) 11
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
A) 11
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
Passo 1
O enunciado dá a definição da operação nova entre inteiros:
As informações concretas são:
-
e são inteiros positivos. -
. -
.
O que o problema pede:
- Encontrar o valor de
(e indicar a alternativa correta entre A) 11, B) 12, C) 15, D) 16, E) 18).
Passo 2
Vamos escrever as duas igualdades usando a definição da operação, transformando o enunciado em um sistema algébrico. Usando
e
, temos:
Agora vamos expandir cada produto para ficar com expressões em termos de
,
e
. Isso ajuda a manipular e eliminar termos.
Passo 3
Expandindo as duas expressões:
Para a primeira:
Para a primeira:
ou seja
Para a segunda:
ou seja
Agora temos o sistema mais simples:
Passo 4
Para eliminar
e achar uma relação simples entre
e
, subtraímos a primeira equação da segunda. Isso é uma técnica padrão: subtração de equações elimina termos comuns.
Subtraindo:
Subtraindo:
No lado esquerdo os
se cancelam e obtemos:
Calculando o lado esquerdo:
Dividindo por
:
Portanto temos a relação simples
Passo 5
Agora substituímos
em uma das equações reduzidas (vou usar
) para obter uma equação só em
. Substituição é a técnica de resolver sistemas quando uma variável já foi isolada.
Substituindo:
Substituindo:
Expandindo termo a termo:
Agrupando termos iguais (
):
Passando
para o lado esquerdo:
Passo 6
Temos uma equação quadrática em
:
Explico rapidamente como resolver: uma técnica comum é tentar fatorar em dois binômios inteiros, isto é, procurar números
e
tais que
e
. Procurando pares de divisores de
:
-
e dão e . Ótimo, fatorou.
Logo:
As soluções são
Mas o enunciado exige
inteiro positivo, então descartamos
e ficamos com
Passo 7
Com
e a relação
, obtemos:
Vamos verificar rapidamente nas duas definições originais para garantir que não houve erro:
Tudo confere.
Passo 8
Portanto:
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa A).
Resposta
A) 11