Qual a quantidade de cerveja que pode ser produzida por uma empresa que tem unidade de brassagem de 500 litros e dez dornas que podem ser usadas na fermentação e maturação com 500 litros cada uma. Na resolução assuma que há dornas distintas para fermentação e maturação, que na receita a fermentação dura 7 dias, a maturação dura 4 dias e um dia adicional para cada etapa.

Passo 1

O enunciado quer a capacidade máxima de produção de cerveja dado que:
  • há uma unidade de brassagem de 500 L (ou seja, cada brassagem gera 500 L de mosto);
  • existem 10 dornas idênticas de 500 L, usadas em duas etapas distintas e não intercambiáveis: fermentação e maturação;
  • a fermentação dura 7 dias mais 1 dia de limpeza/transição (total 8 dias);
  • a maturação dura 4 dias mais 1 dia de limpeza/transição (total 5 dias).
    Vamos modelar o fluxo contínuo de mosto pelas dornas para achar a produção diária (e daí semanal, mensal, etc.).

Passo 2

Chamemos de x o número de dornas dedicadas à fermentação e de y o número de dornas dedicadas à maturação. Temos a restrição
x + y = 10.
Enquanto estiver em regime permanente, cada estrela (fermentação ou maturação) funciona como “reservatório” de lotes que leva certo tempo para escoar.

Passo 3

A vazão de saída média da etapa de fermentação (ou seja, o volume fermentado por dia) é
\dot Q_{\text{fermentação}} =\frac{x \times 500\;\mathrm{L}}{8\;\mathrm{dias}}.çã
De modo análogo, a vazão média da maturação é
\dot Q_{\text{maturação}} =\frac{y \times 500\;\mathrm{L}}{5\;\mathrm{dias}}.çã

Passo 4

Para não haver acúmulo nem falta de mosto, a produção real será limitada pelo gargalo, isto é,
\dot Q_{\text{produzida}} =\min\bigl(\dot Q_{\text{fermentação}},\,\dot Q_{\text{maturação}}\bigr).çãçã

Passo 5

Substituindo y = 10 - x, temos duas funções de x:
\dot Q_{\text{fermentação}}(x) =\frac{500\,x}{8}, \quad \dot Q_{\text{maturação}}(x) =\frac{500\,(10-x)}{5}.çãçã

Passo 6

Para maximizar a vazão mínima, igualamos as duas expressões:
\frac{500\,x}{8} = \frac{500\,(10 - x)}{5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{8} = \frac{10-x}{5} \quad\Longrightarrow\quad 5x = 8(10 - x) \quad\Longrightarrow\quad 13x = 80 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{80}{13}\approx 6{,}15.
Assim y = 10 - x \approx 3{,}85.

Passo 7

Como x e y devem ser inteiros, testamos as alocações vizinhas:
  • x=6, y=4:
\dot Q_{\text{fermentação}} = \frac{6\cdot500}{8} = 375\;\mathrm{L/dia}, \quad \dot Q_{\text{maturação}} = \frac{4\cdot500}{5} = 400\;\mathrm{L/dia},çãçã
produção limitada a 375\;\mathrm{L/dia}.
  • x=7, y=3:
\dot Q_{\text{fermentação}} = 437{,}5\;\mathrm{L/dia}, \quad \dot Q_{\text{maturação}} = 300\;\mathrm{L/dia},çãçã
limitada a 300\;\mathrm{L/dia}.
Outras combinações dão vazão menor. Logo, x=6, y=4 é a melhor escolha.

Passo 8

Verificamos se a brassagem (500 L por batelada) é limitante. Com 375 L/dia de demanda, a brassagem pode ser feita a cada 500/375\approx1{,}33 dias, logo não é gargalo.

Resposta

A produção contínua máxima é de 375 L por dia (aproximadamente 2625 L por semana).

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