Quanto tempo um sinal de tensão senoidal de 60 Hz leva para atingir 25% do seu valor máximo? Quanto tempo leva para atingir o seu valor eficaz?
Passo 1
O enunciado dá um sinal senoidal com frequência
e pede duas coisas:
- Quanto tempo o sinal leva para atingir
do seu valor máximo? - Quanto tempo o sinal leva para atingir o seu valor eficaz?
Informações dadas:
(Nota: vamos interpretar “atingir” como o primeiro instante positivo em que a tensão atinge esses valores a partir de
.)
Passo 2
Modelo matemático e parâmetros básicos (explicação passo a passo).
- Um sinal senoidal típico, com referência na passagem pelo zero em
, pode ser escrito como
onde:
-
é o valor máximo (amplitude), -
é a frequência angular, relacionada com a frequência por . - Calculemos
e o período :
Explicação didática:
diz quantos radianos a fase percorre por segundo; o período
é o tempo para completar um ciclo inteiro.
Passo 3
Tempo para atingir
do valor máximo (explicação com passos pequenos).
- Queremos o menor
tal que
- Substituindo o modelo:
- Para encontrar
tomamos a função arco-seno (inversa do seno). A primeira solução positiva é
Explicando a função arco-seno:
dá o ângulo (em radianos) cujo seno é
. Para números pequenos tipo
não há fórmula elementar simples, usa-se uma calculadora ou tabela; o valor numérico é aproximadamente
.
- Portanto
Usando
:
Interpretação prática: a tensão leva cerca de
desde a passagem pelo zero até atingir
do pico pela primeira vez.
Passo 4
Tempo para atingir o valor eficaz (explicação e cálculo).
- O valor eficaz (RMS) de uma senóide é
Explicação: para senóide pura, o quadrado médio leva a fator
e a raiz dá
.
- Queremos o menor
tal que
- O ângulo cujo seno vale
é (ou ). Logo a primeira solução positiva é
- Assim
Substituindo
:
Observação útil para prova: esse resultado bonito vem do fato de
em
, e dividir por
é equivalente a tomar uma fração do período; aqui
.
Passo 5
Casos adicionais e observações (para prova).
- Há soluções repetidas a cada ciclo: para a igualdade
as soluções gerais são
então além dos primeiros instantes positivos existem outros mais adiante. Mas para a maioria das perguntas práticas a que interessa é o primeiro instante positivo.
- Resumo prático: para
usamos dividido por ; para o valor eficaz usamos a relação direta que leva a .