Quanto tempo um sinal de tensão senoidal de 60 Hz leva para atingir 25% do seu valor máximo? Quanto tempo leva para atingir o seu valor eficaz?

Passo 1

O enunciado dá um sinal senoidal com frequência 60\\ \text{Hz} e pede duas coisas:
  • Quanto tempo o sinal leva para atingir 25\% do seu valor máximo?
  • Quanto tempo o sinal leva para atingir o seu valor eficaz?
Informações dadas:
  • f = 60\\ \text{Hz}.
(Nota: vamos interpretar “atingir” como o primeiro instante positivo em que a tensão atinge esses valores a partir de t=0.)

Passo 2

Modelo matemático e parâmetros básicos (explicação passo a passo).
  • Um sinal senoidal típico, com referência na passagem pelo zero em t=0, pode ser escrito como
v(t)=V_{\max}\sin(\omega t),
onde:
  • V_{\max} é o valor máximo (amplitude),
  • \omega é a frequência angular, relacionada com a frequência f por \omega=2\pi f.
  • Calculemos \omega e o período T:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}991\\ \text{rad/s},
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\\ \text{s}\approx 0{,}0166667\\ \text{s}.
Explicação didática: \omega diz quantos radianos a fase percorre por segundo; o período T é o tempo para completar um ciclo inteiro.

Passo 3

Tempo para atingir 25\% do valor máximo (explicação com passos pequenos).
  • Queremos o menor t>0 tal que
v(t)=0{,}25\,V_{\max}.
  • Substituindo o modelo:
V_{\max}\sin(\omega t)=0{,}25\,V_{\max}\quad\Longrightarrow\quad \sin(\omega t)=0{,}25.
  • Para encontrar t tomamos a função arco-seno (inversa do seno). A primeira solução positiva é
\omega t = \arcsin(0{,}25).
Explicando a função arco-seno: \arcsin(x) dá o ângulo (em radianos) cujo seno é x. Para números pequenos tipo 0{,}25 não há fórmula elementar simples, usa-se uma calculadora ou tabela; o valor numérico é aproximadamente 0{,}252680255\\ \text{rad}.
  • Portanto
t = \frac{\arcsin(0{,}25)}{\omega}.
Usando \omega=120\pi:
t = \frac{0{,}252680255}{120\pi}\\ \text{s}\approx 0{,}00067002\\ \text{s}=0{,}67002\\ \text{ms}.
Interpretação prática: a tensão leva cerca de 0{,}67\\ \text{ms} desde a passagem pelo zero até atingir 25\% do pico pela primeira vez.

Passo 4

Tempo para atingir o valor eficaz (explicação e cálculo).
  • O valor eficaz (RMS) de uma senóide é
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\max}}{\sqrt{2}}.
Explicação: para senóide pura, o quadrado médio leva a fator 1/2 e a raiz dá 1/\sqrt{2}.
  • Queremos o menor t>0 tal que
V_{\max}\sin(\omega t)=\frac{V_{\max}}{\sqrt{2}}\quad\Longrightarrow\quad \sin(\omega t)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • O ângulo cujo seno vale 1/\sqrt{2} é \pi/4 (ou 45^\circ). Logo a primeira solução positiva é
\omega t = \frac{\pi}{4}.
  • Assim
t = \frac{\pi/4}{\omega} = \frac{\pi/4}{2\pi f} = \frac{1}{8f}.
Substituindo f=60\\ \text{Hz}:
t=\frac{1}{8\cdot 60}=\frac{1}{480}\\ \text{s}\approx 0{,}00208333\\ \text{s}=2{,}08333\\ \text{ms}.
Observação útil para prova: esse resultado bonito vem do fato de \sin(\theta)=1/\sqrt{2} em \theta=\pi/4, e dividir por 2\pi f é equivalente a tomar uma fração do período; aqui t=T/8.

Passo 5

Casos adicionais e observações (para prova).
  • Há soluções repetidas a cada ciclo: para a igualdade \sin(\omega t)=a as soluções gerais são
\omega t = n\pi + (-1)^n \arcsin(a),\quad n\in\mathbb{Z},
então além dos primeiros instantes positivos existem outros mais adiante. Mas para a maioria das perguntas práticas a que interessa é o primeiro instante positivo.
  • Resumo prático: para 25\% usamos \arcsin(0{,}25) dividido por \omega; para o valor eficaz usamos a relação direta que leva a t=T/8.

Resposta

t_{25\%}\approx 0{,}00067002\\ \text{s} \approx 0{,}670\\ \text{ms}
t_{\text{eficaz}}=\dfrac{1}{480}\\ \text{s}\approx 0{,}00208333\\ \text{s} \approx 2{,}083\\ \text{ms}

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