Determine o tempo necessário para uma senóide de tensão da rede comercial percorrer o trecho compreendido entre 0 rad e \pi / 3 \mathrm{rad}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tempo necessário para uma senoide de tensão da rede comercial percorrer o trecho de fase entre 0\\ \text{rad} e \pi/3\\ \text{rad}.
Informações dadas:
  • O deslocamento angular pedido é \Delta\theta=\pi/3\\ \text{rad}.
  • Não foi fornecida explicitamente a frequência da rede; ela será tratada simbolicamente e depois serão mostrados valores numéricos para as frequências comerciais típicas (50 Hz e 60 Hz).

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): uma senoide de tensão varia no tempo como \sin(\theta(t)) onde a fase \theta(t) cresce linearmente no tempo em regime estacionário. Em geral,
\theta(t)=\omega t + \theta_0,
onde:
  • \theta(t) é a fase instantânea em radianos;
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s};
  • \theta_0 é a fase inicial em radianos;
  • t é o tempo em segundos.
A frequência angular está ligada à frequência em hertz f e ao período T por
\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}.
Se queremos saber quanto tempo \Delta t leva para a fase avançar de um valor para outro (aqui de 0 até \pi/3), usamos a relação entre variação de fase e tempo:
\Delta\theta = \omega\,\Delta t.
Isolando \Delta t:
\Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta\theta: variação de fase pedida ( \pi/3);
  • \omega: frequência angular da senoide;
  • \Delta t: tempo que queremos achar.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto com \Delta\theta=\pi/3:
\Delta t = \frac{\pi/3}{\omega} = \frac{\pi}{3\omega}.
Também podemos escrever em função do período T. Usando \omega=\dfrac{2\pi}{T}:
\Delta t = \frac{\pi/3}{2\pi/T} = \frac{\pi}{3}\cdot\frac{T}{2\pi}=\frac{T}{6}.
Interpretação simples e prática: \pi/3\\ \text{rad} equivale a 60^\circ, e 60^\circ é 1/6 de um ciclo de 360^\circ. Logo o tempo é exatamente um sexto do período da rede.

Passo 4

Agora calculo numérico para as frequências comerciais típicas.
Para f=50\\ \text{Hz}:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50}=0,02\\ \mathrm{s}.
\Delta t=\frac{T}{6}=\frac{0,02}{6}=0,003333\ldots\\ \mathrm{s}=3,33\\ \mathrm{ms}.
Para f=60\\ \text{Hz}:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\approx0,0166667\\ \mathrm{s}.
\Delta t=\frac{T}{6}\approx\frac{0,0166667}{6}\approx0,00277778\\ \mathrm{s}=2,78\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

Dica para a prova (resumindo e motivando): pode usar a fórmula direta \Delta t=\Delta\theta/\omega quando souber \omega, ou a observação geométrica de graus ( 60^\circ=1/6 do ciclo) e então \Delta t=T/6. Ambas são rápidas e evitam erro de contas. Vai dar certo — respira, lembra que é só uma fração do período.

Resposta

\displaystyle \Delta t=\frac{\pi}{3\omega}=\frac{T}{6}
\text{Para }f=50\\ \mathrm{Hz}:\\ \Delta t=0,003333\ldots\\ \mathrm{s}=3,33\\ \mathrm{ms}
\text{Para }f=60\\ \mathrm{Hz}:\\ \Delta t\approx0,00277778\\ \mathrm{s}=2,78\\ \mathrm{ms}

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