Para uma tensão alternada senoidal cujo valor eficaz é 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, determine:
a) período, velocidade angular, valor de pico, pico a pico e eficaz;
b) valor instantâneo quando \alpha=60^{\circ}.
c) valor instantâneo quando t=10 \mathrm{~ms}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue foi dado no enunciado):
  • Valor eficaz (rms): V_{\text{eficaz}}=220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Perguntas:
    a) determinar o período, a velocidade angular, o valor de pico, o pico a pico e o valor eficaz (este último já foi dado, mas será relembrado);
    b) determinar o valor instantâneo da tensão quando \alpha=60^\circ (aqui \alpha representa o argumento da função seno, isto é, o ângulo elétrico \omega t+\varphi; como o enunciado não dá deslocamento de fase, vou assumir fase inicial \varphi=0);
    c) determinar o valor instantâneo da tensão quando t=10\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Período: definição e cálculo.
  • O período T é o tempo de uma oscilação completa e está relacionado com a frequência por T=\dfrac{1}{f}.
  • Aplicando com f=60\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{60} \\ \mathrm{s}\approx 0,0166667\\ \mathrm{s}=16,6667\\ \mathrm{ms}.
Explicação curta: frequência é “quantas oscilações por segundo”; 60 oscilações por segundo significa que cada oscilação demora 1/60 segundo.

Passo 3

Velocidade angular (frequência angular): definição e cálculo.
  • A velocidade angular \omega (em rad/s) relaciona-se com a frequência por \omega=2\pi f.
  • Com f=60\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376,99\\ \mathrm{rad/s}.
A interpretação: \omega é a velocidade com que o ângulo da senoide varia no tempo; em uma segundo o argumento da senoide varia 2\pi f radianos.

Passo 4

Valor de pico V_p: relação entre valor eficaz e pico para senóide.
  • Para uma tensão senoidal pura temos a relação
V_{\text{rms}}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}.
Aqui V_{\text{rms}} (ou V_{\text{eficaz}}) é o valor eficaz, e V_p é a amplitude máxima (valor de pico).
  • Isolando V_p:
V_p = V_{\text{rms}}\sqrt{2}.
  • Substituindo V_{\text{rms}}=220\\ \mathrm{V}:
V_p = 220\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx 311,13\\ \mathrm{V}.
Breve ensino: o fator \sqrt{2} vem do cálculo do rms para uma senoide v(t)=V_p\sin(\omega t), pois
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T (V_p\sin\omega t)^2 dt}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Pico a pico V_{pp} e reafirmação do eficaz.
  • Pico a pico é simplesmente a diferença entre o pico positivo e o pico negativo: V_{pp}=2V_p.
  • Assim
V_{pp}=2\cdot 311,13\\ \mathrm{V}\approx 622,25\\ \mathrm{V}.
  • O valor eficaz já é o dado:
V_{\text{eficaz}}=220\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Expressão da tensão instantânea e preparação para os cálculos pedidos.
  • A forma geral (assumindo fase inicial \varphi=0) é
v(t)=V_p\sin(\omega t).
  • Quando o enunciado dá um ângulo \alpha e pede o valor instantâneo, isso significa usar
v(\alpha)=V_p\sin(\alpha),
onde \alpha pode ser em graus (converteremos mentalmente para radianos ao usar a função seno).
  • Lembrete de conversão: 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}. Porém para ângulos especiais (como 60^\circ) podemos usar identidades trigonométricas conhecidas sem converter numericamente.

Passo 7

Cálculo do valor instantâneo quando \alpha=60^\circ.
  • Usar v(\alpha)=V_p\sin(\alpha) com V_p\approx 311,13\\ \mathrm{V} e \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
v(60^\circ)=311,13\cdot \sin 60^\circ =311,13\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 311,13\cdot 0,8660254\approx 269,71\\ \mathrm{V}.
Explicação didática: em provas normalmente basta saber que \sin 60^\circ=\sqrt{3}/2; multiplica-se pela amplitude para obter o instante.

Passo 8

Cálculo do valor instantâneo quando t=10\\ \mathrm{ms}.
  • Primeiro converter t para segundos: t=10\\ \mathrm{ms}=0,01\\ \mathrm{s}.
  • Calcular \omega t:
\omega t \approx 376,99\cdot 0,01 \\ \mathrm{rad}\approx 3,7699\\ \mathrm{rad}.
Observação útil: 3,7699\\ \mathrm{rad} corresponde a 3,7699\cdot \dfrac{180}{\pi}\approx 216^\circ. Também se pode ver mais diretamente: t=0{,}01\\ \mathrm{s} com f=60\\ \mathrm{Hz} corresponde a 0{,}01\cdot 60=0{,}6 ciclos \Rightarrow 0{,}6\cdot 360^\circ=216^\circ.
  • Logo
v(0{,}01)=V_p\sin(\omega t)=311,13\cdot \sin(216^\circ).
  • Usando \sin(216^\circ)=\sin(180^\circ+36^\circ)=-\sin 36^\circ e \sin 36^\circ\approx 0,5877853,
v(0{,}01)\approx 311,13\cdot (-0,5877853)\approx -182,95\\ \mathrm{V}.
Interpretação rápida: a tensão está negativa nesse instante porque 216^\circ está no terceiro quadrante da senoide.

Resposta

a) T=\dfrac{1}{60}\\ \mathrm{s}\approx 0,0166667\\ \mathrm{s}=16,6667\\ \mathrm{ms};\\ \omega=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376,99\\ \mathrm{rad/s};\\ V_p=220\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx 311,13\\ \mathrm{V};\\ V_{pp}=2V_p\approx 622,25\\ \mathrm{V};\\ V_{\text{eficaz}}=220\\ \mathrm{V}.\n b) \(v(60^\circ)=V_p\sin 60^\circ\approx 269,71\\ \mathrm{V}.\n c) \(v(10\\ \mathrm{ms})=V_p\sin(\omega\cdot 0,01)\approx -182,95\\ \mathrm{V}.)

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