Quanto vale U para um mol de um gás ideal diatômico a 0^{\circ} \mathrm{C} ? Essa grandeza depende do volume ou da pressão?
O melhor vácuo que já foi obtido no interior de um recipiente na superfície da Terra é da ordem de 2,5 \times 10^{-15} \mathrm{~atm}. Considerando que o ar se comporta como um gás ideal, quantas moléculas iremos encontrar em 1 \mathrm{~mm}^{3} do interior desse recipiente se o mesmo está à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– (a) Calcular a energia interna U de um mol de gás ideal diatômico à temperatura de 0^\circ\mathrm{C} e dizer se essa grandeza depende de volume ou pressão.
– (b) Usando a melhor qualidade de vácuo em Terra, p=2,5\times10^{-15}\,\mathrm{atm}, à temperatura de 27^\circ\mathrm{C}, determinar quantas moléculas há em 1\,\mathrm{mm}^3, supondo comportamento de gás ideal.
Para (a) vamos usar a teoria da energia interna de gases ideais e, para (b), a equação de estado no formato \displaystyle pV=N k_{B}T.
Passo 2
Num gás ideal diatômico em temperatura onde só há graus de liberdade translatórios e rotacionais, o número de graus de liberdade é f=5. O calor molar a volume constante é
c_{V}=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R
e a energia interna de n mols é
U=n\,c_{V}\,T\,.
Passo 3
Para um mol n=1 à temperatura de 0^\circ\mathrm{C}, isto é, T=273{,}15\,\mathrm{K}, temos
U = 1\;\times\frac{5}{2}R\;\times273{,}15 = \frac{5}{2}\times8{,}314\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\,\mathrm{K}}\times273{,}15\,\mathrm{K} \approx5{,}69\times10^{3}\,\mathrm{J}\,.
Passo 4
Como U depende apenas de T (pois c_{V} e n são constantes), concluímos que a energia interna de um gás ideal não depende do volume nem da pressão, mas somente da temperatura.
Passo 5
Para contar moléculas em 1\,\mathrm{mm}^3 num vácuo de pressão p e temperatura T, usamos
p\,V = N\,k_{B}\,T
onde k_{B}=1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}. Convertemos as unidades: \displaystyle p=2{,}5\times10^{-15}\,\mathrm{atm}=2{,}5\times10^{-15}\times1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\approx2{,}53\times10^{-10}\,\mathrm{Pa}
e \displaystyle V=1\,\mathrm{mm}^{3}=1\times10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}, \displaystyle T=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\,\mathrm{K}.
Passo 6
Substituindo em \displaystyle N=\frac{p\,V}{k_{B}\,T},
N =\frac{2{,}53\times10^{-10}\,\mathrm{Pa}\,\times1\times10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}\times300{,}15\,\mathrm{K}} \approx6{,}1\times10^{1}\,\text{moléculas}.
Resposta
(a) U=\dfrac{5}{2}R\,T\bigl|_{T=273{,}15\,\mathrm{K}}\approx5{,}69\times10^{3}\,\mathrm{J}. Essa energia interna independe de volume e pressão, dependendo só da temperatura.
(b) Aproximadamente 6,1\times10^{1} moléculas em 1\,\mathrm{mm}^{3}.